Spadanie swobodne: wysokość, czas i prędkość bez mieszania znaków

Potrzebne wiadomości: Ruch jednostajnie przyspieszony, pierwiastek kwadratowy, energia kinetyczna.

Najpierw ustalmy model

Pomijamy opór powietrza. Wysokość jest na tyle mała względem promienia Ziemi, że g traktujemy jako stałe, a pion jako niezmienny. Oś s kierujemy w dół od punktu puszczenia. Wtedy s=gt^2/2, v=gt, v^2=2gs. Dla wysokości H czas upadku wynosi t=\sqrt{2H/g}.

To prędkość tuż przed kontaktem z podłożem. Podczas zderzenia dochodzą inne siły, więc tych równań nie przedłużamy przez uderzenie. Sama masa kulki nie występuje we wzorach na spadanie.

Przykład: co oznacza ostatnia sekunda?

Przyjmijmy g=10 m/s² i całkowity czas spadania 4 s. Cała wysokość wynosi 80 m. Po 3 s kulka przebyła 45 m, zatem w ostatniej sekundzie pokonuje 35 m. Nie 20 m, czyli jedną czwartą całej drogi: przecież cały czas przyspiesza.

Ten sam wynik daje średnia szybkość w ostatniej sekundzie: od 30 do 40 m/s, czyli średnio 35 m/s. Tutaj wolno uśrednić wartości na końcach, bo przyspieszenie jest stałe.

Czego nie mierzy stoper?

Jeżeli zatrzymujemy stoper dopiero po usłyszeniu uderzenia, zmierzony czas obejmuje spadanie i powrót dźwięku. Dla głębokości H oraz szybkości dźwięku c mamy t_{\mathrm{pom}}=\sqrt{2H/g}+H/c. Pominięcie drugiego składnika zawyży obliczoną głębokość. Również kulka wypuszczona z jadącej windy może mieć niezerową prędkość początkową względem ziemi.

Ostatnia sekunda nie jest jedną trzecią całej drogi. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Dlaczego cięższa kulka nie ma większego przyspieszenia?

Siła ciężkości mg jest większa dla większej masy, ale większa masa wymaga też większej siły do uzyskania tego samego przyspieszenia. Równanie ma=mg daje a=g. Skrócenie masy jest skutkiem modelu: działa tylko grawitacja, a masę bezwładną i grawitacyjną utożsamiamy. Kartka i kamień w powietrzu nie realizują tego samego prostego modelu, ponieważ znaczenie oporu względem ciężaru jest dla nich inne.

Wybór osi w dół pozwala zapisać przyspieszenie jako +g. Gdy wybierzemy oś w górę, przyspieszenie będzie −g, a końcowa składowa prędkości ujemna. Czas i szybkość nie zmienią się od wyboru osi. Znak informuje o zwrocie względem umowy; ujemna prędkość nie oznacza ujemnej wartości szybkości.

Wyprowadzenie trzech użytecznych zależności

Stałe przyspieszenie oznacza, że w każdej kolejnej sekundzie przybywa tyle samo prędkości. Od startu z v₀=0 mamy v=gt. Wykres v(t) jest prostą, więc pole trójkąta daje s=vt/2=gt²/2. Eliminując t=v/g, otrzymujemy v²=2gs. Pierwszy wzór odpowiada na pytanie o prędkość po czasie, drugi o drogę po czasie, trzeci łączy prędkość z wysokością bez pośredniego szukania czasu.

Zależności mają sens wymiarowy: gt jest w m/s, gt² w metrach, a gs w m²/s². Pod pierwiastkiem we wzorze na czas H/g ma jednostkę s². Jeśli wychodzi pierwiastek z długości albo ujemny czas upadku, warto wrócić do wyboru osi i warunku początkowego, zanim poprawimy liczbę „na oko”.

Przykład: wysokość 45 m

Przy g=10 m/s² równanie 45=5t² daje t=3 s. Algebra ma także rozwiązanie −3 s, ale opis zaczyna się w chwili puszczenia i szukamy późniejszego kontaktu. Końcowa szybkość 30 m/s zgadza się z √(2gH). Ostatnia sekunda obejmuje ruch od 2 do 3 s, więc trzeba odjąć dwa położenia: 45−20=25 m.

Ogólnie droga w n-tej sekundzie od puszczenia wynosi g[n²−(n−1)²]/2 razy sekundę do kwadratu, czyli g(2n−1)/2 w takim zapisie liczbowym. Dla g=10 otrzymujemy 5,15,25,35 m. Liczby rosną liniowo, choć całkowita droga rośnie jak kwadrat czasu. Nie wolno odczytywać tej reguły jako długości każdego dowolnego przedziału bez sprawdzenia jego początku.

Kontrast: czas ruchu i czas oczekiwania na dźwięk

Dla studni głębokiej na 80 m czas samego spadania wynosi 4 s. Przy szybkości dźwięku 320 m/s sygnał wraca jeszcze przez 0,25 s. Stoper zatrzymany na dźwięku pokaże 4,25 s. Gdy ktoś wstawi ten czas do H=gt²/2, dostanie około 90,3 m, a więc zawyży głębokość. Poprawny model dodaje czasy dwóch różnych etapów.

Inna pułapka dotyczy puszczenia przedmiotu w jadącej windzie. „Puszczono” oznacza brak dodatkowego rzutu względem dłoni, a niekoniecznie v₀=0 względem ziemi. Przedmiot przejmuje prędkość dłoni. Jeśli winda jedzie w górę, może jeszcze przez chwilę się wznosić po wypuszczeniu.

Sprawdź się

Dwukrotna wysokość nie daje dwukrotnego czasu ani dwukrotnej szybkości końcowej. Obie wielkości rosną √2 razy, przy tych samych założeniach. Czterokrotna wysokość podwaja je. W żadnym z tych porównań nie opisujemy sił podczas uderzenia: do czasu zatrzymania w podłożu potrzebny byłby nowy model odkształceń i oddziaływań kontaktowych.

Zadania do tego tematu

• Kulka puszczona z wysokości czterdziestu pięciu metrów
• Droga przebyta między pierwszą a trzecią sekundą spadania

Dalsza lektura

Materiał referencyjny