Dwa przejścia piłki przez wysokość piętnastu metrów

Rozwiązanie

Jedno równanie dla obu etapów

Oś jest skierowana ku górze, więc v₀=+20 m/s i a=−10 m/s². Wysokość opisuje y=v₀t−gt²/2. Nie zmieniamy znaku g przy przejściu przez szczyt. Najpierw warto sprawdzić maksymalną wysokość v₀²/(2g)=20 m: poziom 15 m leży poniżej niej i może być przecięty dwa razy.

Rozwiązanie i interpretacja pierwiastków

Podstawiamy y=15 m, porządkujemy równanie kwadratowe i znajdujemy dwa dodatnie czasy. Każdy sprawdzamy w równaniu prędkości v=v₀−gt. Sam dodatni czas nie mówi, czy piłka wznosi się, czy opada; o tym decyduje znak v.

Obie chwile są jednakowo oddalone od czasu osiągnięcia szczytu, tₘ=2 s. To dodatkowa kontrola wynikająca z symetrii paraboli, a nie dodatkowe założenie narzucone na rachunek.

Wynik

Równanie wysokości daje 15=20t-5t^2 w jednostkach SI, czyli (t-1\ \mathrm{s})(t-3\ \mathrm{s})=0. Z v=20\ \mathrm{m/s}-10\ \mathrm{m/s^2}\,t dostajemy +10 m/s oraz −10 m/s.

Odpowiedź: po 1 s piłka wznosi się z szybkością 10 m/s, a po 3 s opada z tą samą szybkością. Najwyższy punkt osiąga między tymi chwilami, po 2 s.

Kontrola bez czasu

Z energii albo zależności v²=v₀²−2gy dostajemy v²=400−300=100 m²/s². Zatem wartość szybkości wynosi 10 m/s w obu przejściach. Ten wzór sam nie wybiera znaku składowej prędkości. Wariant: poziom 20 m odpowiada jednej chwili 2 s i v=0; poziom 25 m nie jest osiągany. Ujemna delta w tym ostatnim przypadku byłaby poprawnym sygnałem fizycznej niemożliwości, a nie błędem do usunięcia.

Powiązana teoria

Rzut pionowy: jedna wysokość, dwa momenty i różne zwroty prędkości

Dalsza lektura

Materiał referencyjny