Rzut pionowy: jedna wysokość, dwa momenty i różne zwroty prędkości
Piłka mija balkon podczas wznoszenia, a później podczas spadania. W obu chwilach jest na tej samej wysokości. Nie oznacza to jednak, że ma tę samą prędkość: zgadza się szybkość, zmienia się zwrot.
W tym materiale
Piłka mija balkon podczas wznoszenia, a później podczas spadania. W obu chwilach jest na tej samej wysokości. Nie oznacza to jednak, że ma tę samą prędkość: zgadza się szybkość, zmienia się zwrot.
Potrzebne wiadomości: Stałe przyspieszenie, równanie kwadratowe i zasada zachowania energii.
Jedna oś wystarcza na cały lot
Przyjmijmy zwrot dodatni ku górze, położenie początkowe y₀ i początkową składową prędkości v₀. Bez oporu powietrza, przy stałym g, zapis jest wspólny dla wznoszenia i opadania: y(t)=y_0+v_0t-gt^2/2, v(t)=v_0-gt. Przy rzucie w dół v₀ jest ujemne. Nie zmieniamy znaku przyspieszenia w najwyższym punkcie.
Dla rzutu w górę wierzchołek osiągamy po t_{\max}=v_0/g, a przyrost wysokości wynosi \Delta y_{\max}=v_0^2/(2g). W tej chwili v=0, ale nadal a=−g. Gdyby przyspieszenie także zniknęło, piłka pozostałaby na górze.
Dlaczego pojawiają się dwa rozwiązania?
Rozwiążmy własny przykład: y_0=0, v_0=15\ \mathrm{m/s}, g=10\ \mathrm{m/s^2}. Na wysokości 10 m piłka jest po 1 s i po 2 s. Jej składowe prędkości wynoszą wtedy odpowiednio +5 m/s i −5 m/s. Oba czasy są dodatnie i oba mają sens.
Symetria ma warunki
Bez oporu szybkości na tej samej wysokości są równe. Czas wznoszenia jest równy czasowi powrotu tylko do poziomu startu. Piłka rzucona z balkonu może potem spadać dalej, więc całego lotu do ziemi nie liczymy automatycznie jako 2v₀/g. Ujemne rozwiązanie równania czasu odrzucamy, jeżeli zadanie opisuje ruch dopiero od chwili wyrzutu.
Jeden poziom wysokości może odpowiadać dwóm chwilom i przeciwnym zwrotom prędkości. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.
Góra i dół to dwa etapy tego samego równania
Po wypuszczeniu piłki dłoń już na nią nie działa. W modelu bez oporu pozostaje siła ciężkości, skierowana w dół zarówno podczas wznoszenia, jak i opadania. Nie ma siły „rozpędu” utrzymującej piłkę w górze. Początkowa prędkość jest warunkiem startowym, nie kolejną siłą na diagramie. To rozróżnienie usuwa wiele błędów jeszcze przed podstawianiem liczb.
Gdy oś jest skierowana ku górze, a=−g. Całkowanie lub wzory ruchu jednostajnie przyspieszonego dają v=v₀−gt i y=y₀+v₀t−gt²/2. Jeśli ktoś zmienia znak g na szczycie lotu, opisuje zmianę rzeczywistej siły, której nie ma. Zmienia się znak prędkości, nie przyspieszenia.
Skąd bierze się symetria?
Po podstawieniu t=tₘ+τ, gdzie tₘ=v₀/g, dostajemy y=yₘ−gτ²/2. Wysokość zależy od kwadratu odległości czasowej od wierzchołka. Chwile tₘ−τ i tₘ+τ odpowiadają zatem tej samej wysokości. Prędkości mają przeciwne znaki, ponieważ v=−gτ. Jest to symetria konkretnego modelu ze stałym g i bez oporu; nie jest ogólną własnością każdego lotu.
Na szczycie prędkość jest zerowa tylko w jednej chwili. Już po małym czasie Δt składowa prędkości wynosi w przybliżeniu −gΔt. Piłka nie musi najpierw „zdecydować”, w którą stronę spadać. Wartość zerowa pewnej funkcji nie oznacza zerowej szybkości jej zmiany; tak samo temperatura 0°C nie oznacza braku ogrzewania.
Przykład z dwoma sensownymi czasami
Przy v₀=20 m/s, y₀=0 i g=10 m/s² poziom 15 m spełnia równanie 15=20t−5t². Po przeniesieniu wyrazów otrzymujemy t²−4t+3=0 w liczbowym zapisie SI. Pierwiastki 1 i 3 s leżą po dwóch stronach czasu szczytu 2 s. Wtedy v wynosi +10 i −10 m/s. Maksymalna wysokość to 20 m, więc poziom 15 m rzeczywiście jest osiągalny.
Gdyby zapytano o 25 m, równanie nie miałoby rzeczywistych pierwiastków. Ujemna delta nie jest tu problemem kalkulatora: mówi, że piłka nie osiąga tej wysokości. Dla dokładnie 20 m oba pierwiastki zlewają się w 2 s. Przed rachunkiem warto oszacować szczyt, żeby wiedzieć, jakiego rodzaju odpowiedzi oczekiwać.
Kontrast: rzut z balkonu
Piłka rzucona w dół z wysokości 30 m i szybkością 5 m/s ma y=30−5t−5t². Kontakt z ziemią daje t=2 s albo t=−3 s. Dodatni pierwiastek opisuje przyszły lot. Ujemny jest częścią matematycznego przedłużenia paraboli, lecz nie opisuje ruchu piłki przed puszczeniem z dłoni. Końcowa szybkość 25 m/s wynika także z v²=v₀²+2gH.
Zmieniając tylko zwrot początkowego rzutu na ku górze, uzyskalibyśmy y=30+5t−5t² i czas 3 s. Szybkość przy ziemi nadal byłaby 25 m/s, bo początkowa energia kinetyczna i wysokość są takie same. Czas jest inny, bo piłka wykonuje dodatkową część drogi w górę. Równa końcowa szybkość nie oznacza równego czasu ani drogi.
Sprawdź się
Czy wzór 2v₀/g zawsze daje czas lotu? Tylko dla rzutu ku górze i powrotu na poziom startu w tym modelu. Do ziemi poniżej balkonu piłka leci dłużej. Czy masa zmienia wyliczone czasy? Nie w przyjętym modelu, lecz opór powietrza może zmienić wyniki. Czy na tej samej wysokości równe są wektory prędkości? Nie: równe są ich wartości, a zwroty przeciwne.
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto