Doganianie po wspólnym starcie zegara

Rozwiązanie

Ustalamy początkowe położenia

Początek osi ustawiamy w miejscu B w chwili rozpoczęcia obserwacji, dodatni zwrot zgodny z jazdą. Wtedy x_B=7t, a x_A=90+4t. Równość położeń, nie równość przebytych dróg, wyznacza spotkanie. Obaj rowerzyści mają stałe szybkości według treści.

Czas i dwie drogi

Z 7t=90+4t dostajemy 3t=90 i t=30 s. Rowerzysta B pokonuje 7·30=210 m, a A 4·30=120 m. Obaj docierają do współrzędnej 210 m, bo A zaczynał 90 m dalej.

Przenosimy wyrazy zależne od czasu na jedną stronę

(7\,\mathrm{m/s})t=90\,\mathrm m+(4\,\mathrm{m/s})t\ \Longrightarrow\ (3\,\mathrm{m/s})t=90\,\mathrm m\ \Longrightarrow\ t=30\,\mathrm s.

Odjęliśmy 4t od obu stron, a następnie podzieliliśmy przez 3 m/s. Szukana droga B wynosi s_B=v_Bt=(7 m/s)(30 s)=210 m. Sprawdzenie spotkania: początkowe 90 m przewagi A plus jego droga 120 m daje również 210 m.

Wynik

Czas wynosi 90/3=30 s. Rowerzysta B przejedzie 7·30=210 m, a A 120 m. Początkowe 90 m plus 120 m daje to samo miejsce spotkania.

Druga droga: układ jadącego z przodu

Względem A rowerzysta B zbliża się z szybkością 7−4=3 m/s. Pokonanie względnego odstępu 90 m trwa 90/3=30 s. To nie znaczy, że B przejechał względem drogi tylko 90 m. Jego rzeczywiste przemieszczenie zależy od układu odniesienia, podczas gdy zdarzenie spotkania jest to samo.

Wariant: jeśli obaj mieliby 7 m/s, odstęp byłby stały i do spotkania w przyszłości nie doszłoby. Gdyby B był wolniejszy, algebra mogłaby dać ujemny czas, oznaczający przecięcie przedłużonych torów w przeszłości. Dodatni wynik 30 s ma więc sens dzięki temu, że jadący z tyłu porusza się szybciej.

Dodatkowa kontrola

Przy początkowym odstępie 180 m i tych samych szybkościach czas wzrósłby do 60 s, a droga B do 420 m. Liniowa proporcja działa dlatego, że szybkości pozostają stałe. Jeśli choć jeden rowerzysta przyspiesza, trzeba zapisać jego położenie z właściwą zależnością czasu; dzielenie całego odstępu przez jedną początkową szybkość względną przestaje wystarczać.

Powiązana teoria

Ruch względny: od wyboru obserwatora do czasu spotkania

Dalsza lektura

Materiał referencyjny