Ruch względny: od wyboru obserwatora do czasu spotkania

Potrzebne wiadomości: Wektory, ruch jednostajny i równania liniowe.

Dwa układy poruszające się jednostajnie

Jeżeli układ S′ przesuwa się względem S z prędkością V wzdłuż osi x, klasyczne przekształcenie ma postać x'=x-Vt, t'=t. Zatem v'=v-V, a przy stałym V przyspieszenia są jednakowe. To przybliżenie dla prędkości małych wobec c, nie prawo dodawania prędkości światła.

Dla dwóch ciał \vec v_{B/A}=\vec v_B-\vec v_A. W jednym wymiarze zachowujemy znaki. W ruchu dwuwymiarowym odejmujemy składowe; nie odejmujemy automatycznie samych szybkości. Dwie prostopadłe prędkości po 3 m/s dają względną szybkość 3\sqrt2 m/s.

Spotkanie i wybór zera czasu

Dwa wózki oddalone początkowo o 20 m jadą ku sobie z 2 i 3 m/s. Odległość maleje o 5 m co sekundę, więc spotkanie nastąpi po 4 s. Gdy oba jadą w tym samym zwrocie, odległość maleje tylko wtedy, gdy tylny jest szybszy. Ujemny czas rozwiązania wskazuje spotkanie przed przyjętą chwilą początkową, nie w przyszłości.

Zasada względności Galileusza mówi, że prawa mechaniki mają tę samą postać w układach inercjalnych. Nie nadaje tego statusu obracającemu się układowi ani windzie z przyspieszeniem. Ta jednostka rozwija porównanie obserwatorów, zachowując archiwalne definicje kinematyki i zadania o samolotach.

Zdanie „porusza się w lewo” jest niepełne

Pasażer idzie do tyłu wagonu. Względem podłogi wagonu porusza się w lewo, lecz dla osoby na peronie może nadal poruszać się w prawo. Nie trzeba wybierać, który obserwator „widzi prawdziwy ruch”. Trzeba podać układ odniesienia. W mechanice klasycznej położenie i prędkość zależą od obserwatora, a spójnie wykonane przeliczenie prowadzi do tych samych spotkań i zdarzeń.

Niech oś wagonu i oś peronu będą równoległe, zwrot dodatni w prawo, a wagon porusza się ze stałą prędkością U. Gdy początki osi pokrywają się przy t=0, współrzędne wiąże x=x′+Ut. Ten sam czas płynie w obu opisach klasycznych. Po zróżniczkowaniu dostajemy v=v′+U, a dla stałego U przyspieszenia są równe. To przekształcenie Galileusza stosujemy przy szybkościach dużo mniejszych od prędkości światła.

Przykład: krok do tyłu w jadącym wagonie

Wagon ma U=+12 m/s względem peronu. Pasażer idzie z v′=−1 m/s względem wagonu. Zatem v=−1+12=+11 m/s względem peronu. Po 2 s od wspólnego punktu odniesienia wagon przemieści się o 24 m, pasażer cofnie się w nim o 2 m, więc względem peronu znajdzie się 22 m dalej. Rachunek położeń niezależnie odtwarza szybkość 11 m/s.

Gdyby pasażer szedł do przodu z 1 m/s, wynik wyniósłby 13 m/s. Aby w tej idealizacji pozostać nieruchomym względem peronu, musiałby poruszać się względem wagonu z−12 m/s. To porównanie nie jest sugestią wykonywania takiego doświadczenia, tylko testem znaków we wzorze. Nie dodajemy zawsze wartości bezwzględnych; znaki kodują zwroty względem wspólnej osi.

Przykład: doganianie jako zmiana odległości

Rowerzysta A jest początkowo 90 m przed B. Jadą w tym samym kierunku ze stałymi szybkościami 4 i 7 m/s. W układzie drogi x_A=90+4t, x_B=7t, jeśli początek osi ustawimy przy B. Spotkanie wymaga równości współrzędnych:90+4t=7t, stąd t=30 s. W układzie A rowerzysta B zbliża się z szybkością 7−4=3 m/s, więc ten sam czas wynosi 90/3.

Do spotkania B przejeżdża 210 m, A 120 m. Różnica dróg 90 m usuwa początkowy odstęp. Nie należy odpowiadać, że B przejechał 90 m: to zmiana odległości względnej, nie jego droga względem ziemi. Gdy oba obiekty poruszają się z tą samą prędkością, odstęp pozostaje stały i dodatni czas spotkania nie istnieje, chyba że już znajdowały się w tym samym miejscu.

Dwa kierunki: odejmujemy wektory

Dla v_A=(3,0) m/s oraz v_B=(0,4) m/s prędkość B względem A wynosi v_B/A=v_B−v_A=(−3,4) m/s. Jej wartość to √(9+16)=5 m/s. Odejmowanie szybkości 4−3=1 m/s byłoby poprawne tylko dla odpowiednio zgodnych kierunków na jednej osi. Tutaj A ucieka w prawo, a B w górę; z punktu widzenia A wektor ruchu B jest skierowany jednocześnie w lewo i w górę.

Odwrócenie obserwatora daje v_A/B=(3,−4) m/s. Wartość jest taka sama, zwrot przeciwny. W rysunku można sprawdzić v_A+v_B/A=v_B, układając strzałki koniec do początku. Nie trzeba zgadywać kąta na podstawie ilustracji. Składowe zawierają pełną informację o kierunku w wybranych osiach, a twierdzenie Pitagorasa służy dopiero do obliczenia wartości.

Założenia, które warto wypowiedzieć

Proste dodawanie prędkości dotyczy wspólnego czasu i równoległych osi bez wzajemnego obrotu. Dla przyspieszającego wagonu relacja prędkości nadal wymaga uwzględnienia chwilowego ruchu początku osi, ale przyspieszenia obserwatorów już nie są jednakowe. W obracającej się karuzeli dochodzą dodatkowe zależności kierunkowe; sam wzór v′=v−U nie opisuje wszystkich punktów przez jedną stałą U.

Sprawdź się: w zadaniu z rowerzystami zamieniamy szybkości A i B, nie zmieniając początkowych miejsc. Odpowiedź: jadący z tyłu B nie dogoni A przy tych stałych prędkościach. Algebra da t=−30 s, czyli spotkanie dla przedłużenia tych prostych ruchów w przeszłość, nie przyszłe rozwiązanie. Czas ma znaczenie fizyczne dopiero po sprawdzeniu przedziału, w którym zadanie opisuje ruch.

Indeksy mówią, kto mierzy prędkość

Zapis v_P/W czytamy „prędkość pasażera względem wagonu”. Wprowadźmy jeszcze v_W/Z dla wagonu względem peronu oraz v_P/Z dla pasażera względem peronu. Gdy osie są równoległe i zwrócone tak samo, położenia spełniają x_P/Z=x_P/W+x_W/Z. Różniczkujemy względem wspólnego czasu:

v_{P/Z}=v_{P/W}+v_{W/Z},\qquad v_{P/W}=v_{P/Z}-v_{W/Z}.

W jednym wymiarze są to składowe ze znakami. W dwóch wymiarach zapisujemy tę samą relację dla wektorów, a potem odejmujemy osobno współrzędne x i y. Różnicy wektorów nie wolno zastąpić różnicą ich długości. Dla spotkania porównujemy położenia w tej samej chwili. Równość x_A(t)=x_B(t) pozostaje prawdziwa po odjęciu od obu stron tego samego położenia poruszającego się obserwatora. Dlatego obserwatorzy mogą podać różne przebyte drogi, lecz zgadzają się, czy nastąpiło spotkanie. Stosujemy klasyczny model wspólnego czasu i prędkości dużo mniejszych od prędkości światła.

Zadania do tego tematu

• Marsz przeciwnie do ruchu wagonu
• Doganianie po wspólnym starcie zegara
• Prostopadłe wektory prędkości dwóch wózków

Dalsza lektura

Materiał referencyjny