Prostopadłe wektory prędkości dwóch wózków

Rozwiązanie

Odejmujemy składowe, nie szybkości

Prędkość B względem A wynosi v_B/A=v_B−v_A. W osi poziomej dostajemy 0−3=−3 m/s, w pionowej 4−0=4 m/s. Wektor względny ma zatem zwrot w lewo i w górę. Oba wektory wyjściowe zapisano w tych samych osiach, co pozwala wykonać takie odejmowanie.

Wartość wektora

Składowe są prostopadłe, więc szybkość względna wynosi √((-3)²+4²)=5 m/s. Nie jest to 4−3=1 m/s, bo ruchy nie leżą na wspólnej prostej. Znak minus przy składowej poziomej nie zmniejsza jej wkładu do kwadratu długości wektora.

Odejmowanie wektorów wykonujemy współrzędna po współrzędnej

\vec v_{B/A}=\vec v_B-\vec v_A=(0-3,\,4-0)\,\mathrm{m/s}=(-3,\,4)\,\mathrm{m/s},\qquad |\vec v_{B/A}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}\,\mathrm{m/s}=5\,\mathrm{m/s}.

Przecinek oddziela tu współrzędne, a nie część dziesiętną liczby. Wektor ma składową 3 m/s w lewo i 4 m/s w górę. Na rysunku konstruujemy różnicę jako sumę wektora B i przeciwnego do A; przeciwprostokątna pokazuje wartość 5 m/s.

Wynik

\vec v_{B/A}=(-3,4) m/s, a jej wartość wynosi 5 m/s. Różnica szybkości 4−3=1 m/s nie opisuje tej konfiguracji, ponieważ wektory nie leżą na jednej osi.

Kontrola składania

Dodanie v_A=(3,0) do v_B/A=(−3,4) odtwarza v_B=(0,4). Zmiana obserwatora daje v_A/B=(3,−4), czyli przeciwny wektor o tej samej wartości 5 m/s. Taki test wykrywa zamianę kolejności odejmowania, która nie zmieniłaby samej szybkości, lecz odwróciłaby kierunek.

Wariant: gdyby B również poruszał się poziomo z 4 m/s, wektor względny wyniósłby(1,0) m/s i dopiero wtedy różnica szybkości dałaby poprawną wartość 1 m/s. Ten kontrast pokazuje, dlaczego w zadaniach dwuwymiarowych najlepiej najpierw zapisać składowe, a dopiero potem przechodzić do długości i kątów.

Dodatkowa kontrola

Jeżeli początkowo wózki były w tym samym punkcie, po 2 s położenie B względem A wynosiłoby (−6,8) m, a odległość 10 m. Jest to prędkość względna razy czas, bo obie prędkości są stałe. Dla różnych położeń początkowych trzeba dodać początkowy wektor odległości, więc sama wartość 5 m/s nie określa od razu czasu spotkania.

Powiązana teoria

Ruch względny: od wyboru obserwatora do czasu spotkania

Dalsza lektura

Materiał referencyjny