Obroty tarczy: okres, częstotliwość i prędkość kątowa

Rozwiązanie

1. Ile obrotów, ile czasu na obrót?

Częstotliwość liczy powtórzenia w jednostce czasu. Z 24 pełnych obrotów w 16,0 s otrzymujemy:

f=\frac{24}{16{,}0\,\mathrm s}=1{,}50\,\mathrm{Hz}.

To półtora obrotu na sekundę. W minutę, czyli w 60 s, tarcza wykona 90 obrotów. Okres odpowiada odwrotnemu pytaniu: ile sekund zajmuje jeden pełny obrót?

T=\frac{16{,}0\,\mathrm s}{24}=\frac23\,\mathrm s\approx0{,}667\,\mathrm s=\frac1f.

Ruch jest jednostajny, więc każdy obrót trwa tyle samo. Gdyby tarcza przyspieszała, sam iloraz 24/16,0 opisywałby tylko średnią liczbę obrotów na sekundę, a nie stałą chwilową częstotliwość.

2. Jeden obrót to 2π radianów

Częstotliwość f i prędkość kątowa ω opisują ten sam ruch na dwa sposoby. Pierwsza liczy pełne obroty, druga kąt zakreślony w jednostce czasu. Dlatego:

\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}=3\pi\,\mathrm{rad/s}\approx9{,}42\,\mathrm{rad/s}.

Wstawienie ω = 1,50 rad/s zgubiłoby czynnik 2π. Możemy sprawdzić rachunek przez całkowity kąt: w czasie 16,0 s tarcza obraca się o ωt = 48π rad. Po podzieleniu przez 2π rad na obrót odzyskujemy podane 24 obroty.

3. Ten sam kąt, ale droga zależy od promienia

Dla punktu A promień wynosi r_A = 0,200 m. W jednym okresie pokonuje obwód 2πr_A. Szybkość można policzyć z obwodu i okresu albo z prędkości kątowej:

v_A=\frac{2\pi r_A}{T}=\omega r_A=3\pi\cdot0{,}200\,\mathrm{m/s}=0{,}600\pi\,\mathrm{m/s}\approx1{,}88\,\mathrm{m/s}.

Użyliśmy promienia, nie średnicy. Wektor prędkości jest w każdej chwili styczny do okręgu. Jego długość pozostaje stała, lecz kierunek zmienia się w miarę obrotu tarczy.

4. Stała szybkość nie oznacza zerowego przyspieszenia

Przyspieszenie mierzy zmianę wektora prędkości. W tym ruchu nie ma składowej stycznej przyspieszenia, bo szybkość nie rośnie ani nie maleje. Jest za to składowa skierowana do środka okręgu:

a_{d,A}=\frac{v_A^2}{r_A}=\omega^2r_A=(3\pi)^2\cdot0{,}200\,\mathrm{m/s^2}=1{,}80\pi^2\,\mathrm{m/s^2}\approx17{,}8\,\mathrm{m/s^2}.

Wektory prędkości i przyspieszenia są prostopadłe. Nie wynika z tego, że na punkt działa dodatkowy rodzaj oddziaływania nazwany „siłą dośrodkową”. To rzeczywista wypadkowa oddziaływań utrzymuje punkt na zakrzywionym torze; zadanie nie wymaga rozpatrywania jej szczegółowego źródła.

Kontrola przez okres daje to samo: a_{d,A}=\frac{4\pi^2r_A}{T^2}=\frac{4\pi^2\cdot0{,}200}{(2/3)^2}\,\mathrm{m/s^2}=1{,}80\pi^2\,\mathrm{m/s^2}. Nie trzeba zaokrąglać T do 0,667 s w środku rachunku.

5. Punkt bliżej osi nie wykonuje mniej obrotów

Cała tarcza jest sztywna, więc A i B obracają się o ten sam kąt w tym samym czasie. Mają wspólne f, T i ω. Punkt B pokonuje jednak dwa razy krótszy obwód. Przy tej samej ω szybkość v = ωr i przyspieszenie dośrodkowe a_d = ω²r są proporcjonalne do promienia:

v_B=0{,}300\pi\,\mathrm{m/s}\approx0{,}942\,\mathrm{m/s},\qquad a_{d,B}=0{,}900\pi^2\,\mathrm{m/s^2}\approx8{,}88\,\mathrm{m/s^2}.

Gdyby oba punkty miały także jednakową szybkość liniową, punkt bliżej osi musiałby kończyć obrót wcześniej. Nie pozostałyby wtedy na tych samych miejscach sztywnej tarczy. To prosty sposób sprawdzenia, czy nie pomyliliśmy v z ω.

Odpowiedź: 1,50 Hz = 90 obr/min, T = 2/3 s i ω = 3π rad/s. Punkt A ma szybkość około 1,88 m/s i przyspieszenie około 17,8 m/s² do środka toru. Dla B oba te wyniki są dwukrotnie mniejsze; f, T i ω pozostają takie same. Zerowe jest przyspieszenie styczne, a nie całe przyspieszenie.

Źródła pojęć i zależności

Dane, porównanie dwóch punktów i rozwiązanie tego zadania są autorskie. Definicje wielkości kątowych oraz kierunek przyspieszenia w ruchu jednostajnym po okręgu omawiają:

• OpenStax, University Physics 1: wielkości opisujące ruch obrotowy
• OpenStax, University Physics 1: ruch jednostajny i niejednostajny po okręgu