Nieliniowe hamowanie i chwila pierwszego zatrzymania

Rozwiązanie

Hamowanie nie jest jednostajne

Zwrot początkowej prędkości wybieramy jako dodatni. Przyspieszenie ma znak ujemny i rosnącą wartość bezwzględną. Całkujemy je od chwili startu, zachowując v₀=12 m/s: v=v₀−kt²/2. Zatrzymanie oznacza pierwszy dodatni czas, dla którego v=0.

Czas i położenie

Równanie kt²/2=v₀ daje t=√(2v₀/k). Jednostka pod pierwiastkiem to s². Dopiero znaleziony czas podstawiamy do całki z prędkości: x=v₀t−kt³/6. Nie podstawiamy końcowego przyspieszenia do wzoru wymagającego stałej wartości a.

Przed pierwszym zatrzymaniem v jest dodatnia, więc obliczone przemieszczenie jest również drogą hamowania. To trzeba sprawdzić, bo przy przedłużeniu funkcji poza zatrzymanie droga wymagałaby rozdzielenia przedziałów i wartości bezwzględnej prędkości.

Wynik

Całkowanie daje v(t)=12\ \mathrm{m/s}-kt^2/2. Z v=0 wynika t=\sqrt{2v_0/k}=2\ \mathrm{s}. Dalej x(t)=v_0t-kt^3/6, zatem x(2\ \mathrm{s})=24-8=16\ \mathrm{m}. W badanym przedziale prędkość nie zmienia znaku.

Odpowiedź: 2 s i 16 m. Średnia szybkość wyniosła 8 m/s, a nie 6 m/s: wykres prędkości jest tutaj parabolą, nie prostą.

Dlaczego średnia nie wynosi 6 m/s?

Na początku hamowanie jest słabe, a wózek długo utrzymuje dużą szybkość. Pole pod parabolą v(t) jest większe niż pole pod prostą łączącą końce. Zatem średnia 8 m/s jest rozsądna. Wariant: podwojenie k skraca czas o czynnik √2 i zmniejsza drogę o ten sam czynnik, ponieważ przy zatrzymaniu x=(2/3)v₀t. Otrzymalibyśmy około 1,41 s i 11,31 m, przy tym samym v₀.

Powiązana teoria

Ruch prostoliniowy ze zmiennym przyspieszeniem: dlaczego samo a nie wystarczy?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny