Ruch prostoliniowy ze zmiennym przyspieszeniem: dlaczego samo a nie wystarczy?

Potrzebne wiadomości: Prędkość i przyspieszenie, pochodna wielomianu, pole pod wykresem.

Prędkość zbiera wcześniejsze zmiany

Przyspieszenie jest pochodną prędkości, a prędkość pochodną położenia: a(t)=dv/dt, v(t)=dx/dt. Odwracamy te zależności przez całkowanie: v(t)=v_0+\int_0^t a(\tau)\,d\tau oraz x(t)=x_0+\int_0^t v(\tau)\,d\tau. Litera τ służy tu tylko do sumowania kolejnych chwil; t oznacza koniec badanego przedziału.

Geometrycznie zmiana prędkości to pole pod wykresem a(t), liczone ze znakiem. Pole pod wykresem v(t) daje przemieszczenie. Drogę liczymy z wartości bezwzględnej prędkości, więc przy zmianie zwrotu trzeba rozdzielić odcinki ruchu.

Przykład bez zgadywania średniej

Załóżmy a(t)=kt, gdzie k=2\ \mathrm{m/s^3}, oraz v_0=1\ \mathrm{m/s}, x_0=0. Po całkowaniu dostajemy v(t)=v_0+kt^2/2 i x(t)=v_0t+kt^3/6. Po 3 s prędkość wynosi 10 m/s, a przemieszczenie 12 m. Sprawdźmy: pochodna ostatniego wzoru daje poprzedni, a jednostka składnika kt³ to metr.

Gdzie zawodzi znany wzór?

Wzór x=x_0+v_0t+at^2/2 wymaga stałego a. Wstawienie do niego końcowego przyspieszenia nie naprawia tego założenia. Podobnie średnia z prędkości początkowej i końcowej daje średnią prędkość tylko przy odpowiednim przebiegu, np. liniowym v(t). Zawsze podajemy też przedział, w którym obowiązuje model: wzór opisujący hamowanie nie musi opisywać późniejszego ruchu silnika.

Pole na wykresie przyspieszenia jest zmianą prędkości, nie drogą. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Ta sama końcowa wartość przyspieszenia, inna historia ruchu

Samochód może po dwóch sekundach mieć przyspieszenie 6 m/s², ale nie wiemy jeszcze, jaką osiągnął prędkość. Mógł przez cały czas przyspieszać tak samo albo zwiększać przyspieszenie stopniowo od zera. W drugim przypadku wcześniej przybywało mu mniej prędkości. Wykres a(t) opisuje właśnie tę historię. Pojedynczy odczyt na jego końcu jej nie zastępuje.

Zacznijmy od małego przedziału czasu Δt, w którym przyspieszenie zmienia się niewiele. Przyrost prędkości wynosi w przybliżeniu aΔt. Sumując takie przyrosty, otrzymujemy pole pod wykresem. Im drobniej dzielimy czas, tym lepiej śledzimy zmienność funkcji; granicą tej sumy jest całka. To samo rozumowanie stosujemy potem do prędkości i przemieszczenia. Nie trzeba wyobrażać sobie całkowania jako odrębnej sztuki bez związku z kinematyką.

Dwie kontrole po każdym całkowaniu

Dla a=kt całka daje kt²/2 plus stałą. Stała nie jest ozdobnikiem: określa prędkość początkową. Dwa ciała o identycznym przyspieszeniu, ale różnych v₀, zachowują tę różnicę prędkości. Po drugim całkowaniu potrzebne jest jeszcze położenie początkowe x₀. Przyspieszenie, v₀ i x₀ razem określają rozwiązanie w zadanym przedziale.

Pierwsza kontrola polega na zróżniczkowaniu wyniku. Pochodna kt³/6 wynosi kt²/2, a jej pochodna kt. Druga to podstawienie chwili początkowej: x(0) i v(0) mają odtwarzać warunki zadania. Dobrze jest dopisać kontrolę jednostek. Jeśli a=kt, jednostką k jest m/s³. Składnik kt² ma więc m/s, a kt³ ma metr; przyjęcie k w m/s² zepsułoby oba rachunki.

Przykład: ruszanie od zera

Niech k=3 m/s³ i v₀=0. Po 2 s przyspieszenie wynosi 6 m/s². Pole trójkąta na a(t) daje Δv=2·6/2=6 m/s. Droga jest polem pod parabolą v(t)=1,5t², nie pod prostą łączącą jej końce. Całka daje 4 m. Średnia szybkość to zatem 2 m/s, mniejsza od średniej końców (0+6)/2=3 m/s.

Można to zobaczyć bez obliczania całki na wykresie: parabola wypukła leży poniżej cięciwy między początkiem a końcem. Trapez utworzony przez tę cięciwę zawyża pole. Przy stałym przyspieszeniu v(t) byłoby prostą, więc taki trapez dawałby wynik dokładny. O wyborze metody decyduje kształt funkcji, a nie to, że oba zadania dotyczą samochodu.

Przykład: hamowanie coraz mocniejsze

Przy v₀=12 m/s i a=−6t w jednostkach SI otrzymujemy v=12−3t². Pierwsze zatrzymanie następuje po 2 s. Droga 16 m jest większa od 12 m otrzymanych z błędnej średniej końców. Na początku hamowanie jest słabe i ciało długo utrzymuje dużą szybkość. Gdyby matematycznie przedłużyć funkcję do 3 s, prędkość stałaby się ujemna, ale opis hamulca kończy się przy pierwszym zatrzymaniu. Model trzeba odróżniać od samego wielomianu.

Sprawdź się

Wykres a(t) ma w pierwszej sekundzie dodatnie pole 4 m/s, w drugiej ujemne pole −4 m/s. Czy ciało wróciło do punktu startu? Nie wynika to z danych. Wróciła początkowa prędkość, ponieważ suma zmian prędkości jest zerowa. O położeniu decyduje osobne pole pod v(t). Jeśli v₀=10 m/s i prędkość cały czas była dodatnia, ciało na pewno przemieściło się naprzód.

Zadania do tego tematu

• Przyspieszenie rośnie liniowo: prędkość i położenie po dwóch sekundach
• Nieliniowe hamowanie i chwila pierwszego zatrzymania

Dalsza lektura

Materiał referencyjny