Ruch prostoliniowy ze zmiennym przyspieszeniem: dlaczego samo a nie wystarczy?

Potrzebne wiadomości: Prędkość i przyspieszenie, pochodna wielomianu, pole pod wykresem.

Prędkość zbiera wcześniejsze zmiany

Przyspieszenie jest pochodną prędkości, a prędkość pochodną położenia: a(t)=dv/dt, v(t)=dx/dt. Odwracamy te zależności przez całkowanie: v(t)=v_0+\int_0^t a(\tau)\,d\tau oraz x(t)=x_0+\int_0^t v(\tau)\,d\tau. Litera τ służy tu tylko do sumowania kolejnych chwil; t oznacza koniec badanego przedziału.

Geometrycznie zmiana prędkości to pole pod wykresem a(t), liczone ze znakiem. Pole pod wykresem v(t) daje przemieszczenie. Drogę liczymy z wartości bezwzględnej prędkości, więc przy zmianie zwrotu trzeba rozdzielić odcinki ruchu.

Przykład bez zgadywania średniej

Załóżmy a(t)=kt, gdzie k=2\ \mathrm{m/s^3}, oraz v_0=1\ \mathrm{m/s}, x_0=0. Po całkowaniu dostajemy v(t)=v_0+kt^2/2 i x(t)=v_0t+kt^3/6. Po 3 s prędkość wynosi 10 m/s, a przemieszczenie 12 m. Sprawdźmy: pochodna ostatniego wzoru daje poprzedni, a jednostka składnika kt³ to metr.

Gdzie zawodzi znany wzór?

Wzór x=x_0+v_0t+at^2/2 wymaga stałego a. Wstawienie do niego końcowego przyspieszenia nie naprawia tego założenia. Podobnie średnia z prędkości początkowej i końcowej daje średnią prędkość tylko przy odpowiednim przebiegu, np. liniowym v(t). Zawsze podajemy też przedział, w którym obowiązuje model: wzór opisujący hamowanie nie musi opisywać późniejszego ruchu silnika.

Zadania do tego tematu

• Przyspieszenie rośnie liniowo: prędkość i położenie po dwóch sekundach
• Nieliniowe hamowanie i chwila pierwszego zatrzymania

Dalsza lektura

Materiał referencyjny