Przyspieszenie rośnie liniowo: prędkość i położenie po dwóch sekundach

Rozwiązanie

Model i kolejność obliczeń

Przyspieszenie jest podane jako funkcja czasu, a nie jedna stała. Najpierw obliczamy zmianę prędkości, dopiero z otrzymanej prędkości drogę. W chwili startu v₀=0 i x₀=0. Dodatnie k oznacza dodatnie przyspieszenie w całym rozpatrywanym przedziale.

Pierwsze całkowanie

Całka z kτ od 0 do t wynosi kt²/2. Stała k ma jednostkę m/s³, więc wynik ma jednostkę m/s. Dla t=2 s otrzymamy 6 m/s. Geometrycznie jest to pole trójkąta o podstawie 2 s i wysokości 6 m/s² na wykresie a(t).

Drugie całkowanie

Prędkość rośnie jak kwadrat czasu. Pole pod jej wykresem daje kt³/6, a nie trapez utworzony z wartości na końcach. Ponieważ v nie jest ujemna, w tym zadaniu droga i przemieszczenie mają tę samą wartość.

Wynik

Z warunku v(0)=0 otrzymujemy v(t)=kt^2/2. Stąd v(2\ \mathrm{s})=3\cdot2^2/2=6\ \mathrm{m/s}. Położenie opisuje x(t)=kt^3/6, więc po 2 s wynosi 4 m. W całym przedziale v jest nieujemna, zatem droga jest równa przemieszczeniu.

Odpowiedź: 6 m/s i 4 m. Wstawienie końcowego a=6 m/s² do wzoru dla stałego przyspieszenia dałoby 12 m, aż trzykrotnie za dużo.

Kontrola i wariant

Pochodna x=kt³/6 daje v=kt²/2, a kolejna pochodna a=kt. Oba warunki początkowe są spełnione. Średnia szybkość 4 m/2 s=2 m/s leży między 0 i 6 m/s. Gdyby przy niezmienionym modelu podwoić czas do 4 s, prędkość wzrosłaby czterokrotnie do 24 m/s, a droga ośmiokrotnie do 32 m. Tę prognozę wolno zastosować tylko wtedy, gdy model rzeczywiście obowiązuje dłużej niż w pierwotnym zadaniu.

Powiązana teoria

Ruch prostoliniowy ze zmiennym przyspieszeniem: dlaczego samo a nie wystarczy?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny