Prąd zmienny — zadanie: amplituda to nie wartość skuteczna

Rozwiązanie

Amplituda to najwyższy punkt przebiegu

Podane 170 V jest wartością maksymalną, osiąganą tylko w wybranych chwilach. Przez resztę okresu moduł napięcia jest mniejszy. Stałe napięcie 170 V grzałoby więc ten sam opornik silniej niż opisana sinusoida. Wartość skuteczna musi być mniejsza od amplitudy.

Najpierw przeliczamy napięcie na skuteczne, a następnie liczymy średnią moc. Aby nie wprowadzać błędu zaokrąglenia, w drugim rachunku można zachować dokładną postać 170/√2.

Obliczenia i odpowiedź

Wartość skuteczna napięcia wynosi U_sk = 170/√2 ≈ 120,2 V. Moc średnia jest równa P = U_sk²/R = 170²/(2 · 100) = 144,5 W.

Odpowiedź: około 120,2 V i 144,5 W.

Podstawienie 170 V bezpośrednio do U²/R dałoby 289 W, czyli moc maksymalną chwilową, a nie średnią. Z kolei średnia napięcia równa zero nie prowadzi do zerowej mocy, ponieważ w oporniku liczymy średnią z kwadratu napięcia. Zależność zastosowana w rozwiązaniu wymaga podanej sinusoidalnej postaci przebiegu.

Co pokazuje wykres?

Poziom 120,2 V nie jest średnią wysokością sinusoidy — ta wynosi zero. Jest napięciem stałym równoważnym pod względem średniej mocy w tym oporniku. Moc maksymalna pojawia się przy obu znakach szczytowego napięcia: (+170 V)²/R i (−170 V)²/R dają ten sam wynik. Dlatego w jednym okresie napięcia występują dwa maksima mocy.

Dwa szczyty mocy w jednym okresie napięcia

Dla idealnego opornika chwilowa moc wynosi p(t)=289 W·sin²(ωt). Jej szczyty pojawiają się zarówno przy +170 V, jak i przy −170 V. Średnia wysokość tego wykresu to 144,5 W. W połowie między szczytem napięcia a jego przejściem przez zero moduł napięcia może wynosić 170/√2 V; właśnie wtedy chwilowa moc jest równa średniej. Nie oznacza to, że napięcie cały czas utrzymuje się na tym poziomie.

W dodatkowym przykładzie przyjmijmy częstotliwość 50 Hz. Okres wynosi 0,020 s, a energia wydzielana w jednym okresie to P_śrT=2,89 J. Podwojenie częstotliwości przy tej samej amplitudzie i oporze nie zmieni średniej mocy, ale skróci okres i zmniejszy energię w pojedynczym okresie do 1,445 J. Szczyty na wykresie to nie oddzielne porcje o stałej energii; liczy się pole pod wykresem mocy w wybranym czasie.

Ta interpretacja opiera się na czysto oporowym obciążeniu. Przy cewce lub kondensatorze napięcie i prąd mogą być przesunięte w fazie, dlatego sam kwadrat napięcia podzielony przez dowolną „impedancję” nie zastępuje poprawnego rachunku mocy czynnej.

Powiązana teoria

Wartość skuteczna i transformator idealny

Dalsza lektura

Materiał referencyjny