Praca grawitacji i potencjał: dlaczego energia bywa ujemna?

Potrzebne wiadomości: Praca siły, energia potencjalna i odległość od środka kulistego ciała.

Nie myl potencjału z energią

Na zewnątrz kulistego, sferycznie symetrycznego źródła o masie M przyjmujemy zero potencjału w nieskończoności. Wtedy \varphi(r)=-GM/r, a dla małego ciała o masie m energia wynosi E_p(r)=m\varphi(r)=-GMm/r. Odległość r mierzymy od środka źródła, nie od powierzchni. Jednostka potencjału to J/kg, energii — J.

Przy przejściu z r₁ do r₂ praca siły grawitacji jest równa ubytkowi energii potencjalnej: W_g=GMm(1/r_2-1/r_1). Dla ruchu na zewnątrz r₂>r₁ praca grawitacji jest ujemna. Podczas bardzo powolnego unoszenia, bez zmiany energii kinetycznej, siła zewnętrzna wykonuje pracę o przeciwnym znaku.

Własny przykład z prostymi liczbami

Niech GM=4\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}, m=1 kg, r₁=8·10⁶ m, r₂=16·10⁶ m. Energia rośnie z −50 MJ do −25 MJ. Przyrost wynosi +25 MJ, a praca grawitacji −25 MJ. Podwojenie odległości nie podwaja energii: zmienia odwrotność r.

Skąd bierze się mgh?

Dla niewielkiej wysokości h nad powierzchnią o promieniu R mamy \Delta E_p=GMm(1/R-1/(R+h))\approx mgh, gdzie g=GM/R^2. Przybliżenie wymaga h znacznie mniejszego niż R. Zmiana umownego zera energii nie zmienia żadnej pracy. Ujemna energia potencjalna sama w sobie nie rozstrzyga też o związaniu orbity: o możliwości ucieczki decyduje suma energii potencjalnej i kinetycznej.

Zadania do tego tematu

• Powolne przeniesienie sondy z jednego promienia na drugi
• Jak duży błąd daje mgh przy wysokości jednej dziesiątej promienia?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny