Praca grawitacji i potencjał: dlaczego energia bywa ujemna?

Potrzebne wiadomości: Praca siły, energia potencjalna i odległość od środka kulistego ciała.

Nie myl potencjału z energią

Na zewnątrz kulistego, sferycznie symetrycznego źródła o masie M przyjmujemy zero potencjału w nieskończoności. Wtedy \varphi(r)=-GM/r, a dla małego ciała o masie m energia wynosi E_p(r)=m\varphi(r)=-GMm/r. Odległość r mierzymy od środka źródła, nie od powierzchni. Jednostka potencjału to J/kg, energii — J.

Przy przejściu z r₁ do r₂ praca siły grawitacji jest równa ubytkowi energii potencjalnej: W_g=GMm(1/r_2-1/r_1). Dla ruchu na zewnątrz r₂>r₁ praca grawitacji jest ujemna. Podczas bardzo powolnego unoszenia, bez zmiany energii kinetycznej, siła zewnętrzna wykonuje pracę o przeciwnym znaku.

Własny przykład z prostymi liczbami

Niech GM=4\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}, m=1 kg, r₁=8·10⁶ m, r₂=16·10⁶ m. Energia rośnie z −50 MJ do −25 MJ. Przyrost wynosi +25 MJ, a praca grawitacji −25 MJ. Podwojenie odległości nie podwaja energii: zmienia odwrotność r.

Skąd bierze się mgh?

Dla niewielkiej wysokości h nad powierzchnią o promieniu R mamy \Delta E_p=GMm(1/R-1/(R+h))\approx mgh, gdzie g=GM/R^2. Przybliżenie wymaga h znacznie mniejszego niż R. Zmiana umownego zera energii nie zmienia żadnej pracy. Ujemna energia potencjalna sama w sobie nie rozstrzyga też o związaniu orbity: o możliwości ucieczki decyduje suma energii potencjalnej i kinetycznej.

Przesuwając sondę dalej od źródła, zwiększamy energię, choć obie jej wartości pozostają ujemne. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Ujemna liczba nie oznacza ujemnego zapasu materii

Energia potencjalna opisuje oddziaływanie i zależy od umówionego poziomu zerowego. Dla przyciągającego źródła wygodnie przyjąć zero w nieskończoności. Bliżej źródła energia jest wtedy ujemna, bo trzeba dostarczyć dodatniej pracy, aby bardzo powoli rozsunąć ciała do nieskończoności. To wybór odniesienia, nie informacja o „ujemnej ilości energii” w sensie rachunku za prąd.

W szkolnym wzorze mgh zwykle przyjmujemy zero na podłodze, więc nad podłogą energia jest dodatnia. Nie ma sprzeczności. Porównywane są inne odniesienia i zakresy przybliżenia. Prace oraz zmiany energii nie zależą od dodania tej samej stałej do wszystkich wartości energii.

Wyprowadzenie znaku pracy

Na zewnątrz sferycznie symetrycznego źródła siła na małe ciało jest skierowana do środka. Przy dodatnim zwrocie radialnym na zewnątrz jej składowa wynosi −GMm/r². Praca na małym przemieszczeniu dr to −GMm dr/r². Całkując od r₁ do r₂, dostajemy GMm(1/r₂−1/r₁). Ponieważ praca siły zachowawczej jest równa −ΔEₚ, otrzymujemy Eₚ=−GMm/r plus stałą.

Wybór zera w nieskończoności usuwa tę stałą. Potencjał φ=Eₚ/m jest energią na jednostkę masy i ma J/kg. Podwojenie masy próbnej podwaja energię i pracę, ale nie zmienia potencjału w danym punkcie. Współrzędna r jest odległością od środka źródła; wysokość nad jego powierzchnią to h=r−R.

Przykład: powolne podnoszenie sondy

Dla GM=4·10¹⁴ m³/s² i sondy 2 kg przejście z r₁=10⁷ m do r₂=2·10⁷ m zmienia energię z −80 MJ do −40 MJ. Przyrost to +40 MJ. Grawitacja wykonuje −40 MJ pracy, bo siła jest przeciwna przemieszczeniu. Zewnętrzny mechanizm wykonuje +40 MJ, jeśli pomijamy zmianę energii kinetycznej. Suma prac jest zerowa, zgodnie z bilansem energii kinetycznej.

Gdyby sondę zamiast powoli podnosić po prostu wypuszczono z r₂ i pozwolono jej spadać, praca grawitacji przy przejściu do r₁ wyniosłaby +40 MJ. Tyle przybyłoby energii kinetycznej. Ta sama różnica położeń może więc uczestniczyć w różnych procesach; znak pracy konkretnej siły wynika z kierunku przejścia, a podział energii z warunków ruchu.

Jak dokładne jest mgh?

Dokładny przyrost od powierzchni do wysokości h to GMm h/[R(R+h)]. Po użyciu g₀=GM/R² dostajemy m g₀ h/(1+h/R). Szkolne m g₀ h pomija mianownik większy od jedności, więc zawyża pracę unoszenia. Fizycznie traktuje słabnące pole tak, jakby na całej wysokości było równie silne jak na powierzchni.

Dla h=R/10 wynik dokładny wynosi m g₀R/11, a przybliżony m g₀R/10. Ich iloraz to 1,1: błąd względem wyniku dokładnego wynosi 10%. Jeśli ktoś podzieli różnicę przez wynik przybliżony, otrzyma około 9,09%; to inna definicja procentowej różnicy. Trzeba przeczytać, do której wartości odnosi się pytanie.

Energia ujemna a możliwość ucieczki

W opisanym polu energia potencjalna jest ujemna w każdym skończonym r. O związaniu ruchu rozstrzyga jednak suma E=Eₖ+Eₚ. Przy zerowej sumie ciało może w idealnym modelu dotrzeć do nieskończoności z prędkością dążącą do zera. Przy dodatniej zachowa tam energię kinetyczną. Nie można rozpoznawać orbity związanej wyłącznie ze znaku Eₚ.

Sprawdź się

Czy na odcinku okręgu wokół źródła grawitacja wykonuje pracę? Nie, jeśli promień jest stały: siła jest prostopadła do przemieszczenia, a potencjał jednakowy. Czy dwa różne szlaki między tymi samymi końcami dają różne prace grawitacji? W statycznym polu zachowawczym nie. Praca silnika może być inna, jeśli po drodze działają opory albo zmienia się końcowa prędkość.

Zadania do tego tematu

• Powolne przeniesienie sondy z jednego promienia na drugi
• Jak duży błąd daje mgh przy wysokości jednej dziesiątej promienia?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny