Niższa częstotliwość echa — kierunek i szybkość powierzchni

Rozwiązanie

Ustal znak przed liczeniem

Echo ma mniejszą częstotliwość niż sygnał nadany. W rozpatrywanej geometrii powierzchnia się oddala. Zachowujemy konwencję u > 0 dla zbliżania, więc oczekujemy u < 0.

Przekształć iloraz

Stosunek częstotliwości to r = 38/40 = 0,950. Mnożymy równanie przez c − u:

r(c-u)=c+u\quad\Rightarrow\quad c(r-1)=u(r+1)\quad\Rightarrow\quad u=c\frac{r-1}{r+1}.

u=340\ \mathrm{m/s}\,\frac{0{,}950-1}{0{,}950+1}=-\frac{340}{39}\ \mathrm{m/s}\approx-8{,}718\ \mathrm{m/s}.

Powierzchnia oddala się z szybkością około 8,72 m/s. Szybkość jest nieujemną wartością; minus opisuje kierunek w zdefiniowanej konwencji.

Sprawdź przez podstawienie

Dla u = −340/39 m/s licznik c + u jest równy 340 · 38/39, a mianownik c − u — 340 · 40/39. Ich iloraz wynosi dokładnie 38/40. Otrzymujemy fₑ = 40,0 kHz · 38/40 = 38,0 kHz.

Przybliżenie małych prędkości dałoby u ≈ cΔf/(2f₀) = −8,50 m/s. To bliski, ale inny wynik. Tutaj dysponujemy dwoma odczytami częstotliwości, dlatego możemy bez dodatkowego wysiłku użyć dokładnego odwrócenia modelu.

Przybliżone odwrócenie także wymaga kontroli

Dla u≈cΔf/(2f₀) oraz dokładnego u=cΔf/(2f₀+Δf) iloraz wartości przybliżonej do dokładnej wynosi 1+\Delta f/(2f_0). Tutaj Δf=−2 kHz i f₀=40 kHz, więc wynosi 0,975. Wartość szybkości z przybliżenia jest o 2,5% mniejsza niż dokładna. To inne porównanie niż błąd przewidywania Δf przy z góry zadanym u.

Powiązana teoria

Doppler w echu: dwa przesunięcia i pomiar szybkości

Dalsza lektura

Materiał referencyjny