Echo od zbliżającej się powierzchni — dwa etapy i błąd przybliżenia

Rozwiązanie

Najpierw ruchomy odbiornik

W miejscu odbicia fronty padające napotykają powierzchnię z szybkością 340 + 17 = 357 m/s. Częstotliwość w tym miejscu to:

f_1=40\,000\ \mathrm{Hz}\,\frac{357}{340}=42\,000\ \mathrm{Hz}.

Potem ruchome źródło fali powrotnej

Powierzchnia odsyła falę o swoim rytmie f₁, lecz mikrofon spoczywa w powietrzu. Trzeba uwzględnić drugi etap:

f_e=42\,000\ \mathrm{Hz}\,\frac{340}{323}=\frac{14\,280\,000}{323}\ \mathrm{Hz}\approx44\,210{,}53\ \mathrm{Hz}.

Zatem Δf ≈ 44 210,53 − 40 000 = 4210,53 Hz. Wynik jest dodatni, zgodnie ze zbliżaniem. Zatrzymanie obliczeń na 42 kHz pominęłoby drogę od ruchomej powierzchni do mikrofonu.

Oceń dokładność uproszczenia

Przybliżenie daje Δf_przybl. = 2 · 40 000 · 17/340 Hz = 4000 Hz. Zaniża przesunięcie o 210,53 Hz. Błąd względny względem dokładnego przesunięcia wynosi:

\frac{|4000-4210{,}53|}{4210{,}53}\approx0{,}0500=5{,}00\%.

Można to sprawdzić bez zaokrąglania: iloraz przybliżonego i dokładnego przesunięcia wynosi (c − u)/c = 0,95. Brakuje więc 5%. Gdybyśmy dzielili 210,53 Hz przez całą częstotliwość 44 210,53 Hz, otrzymalibyśmy około 0,476%; byłaby to odpowiedź na inne pytanie o błąd względny.

Sprawdzamy źródło energii przesunięcia

Echo o wyższej częstotliwości nie powstaje przez darmowe podwojenie liczby drgań. Ruchoma powierzchnia wymienia energię z falą; utrzymanie jej ruchu może wymagać pracy zewnętrznej. Nasze równania śledzą fazę i częstotliwość, nie amplitudę ani moc echa. Do bilansu energii potrzebowalibyśmy dodatkowych danych o fali i powierzchni.

Powiązana teoria

Doppler w echu: dwa przesunięcia i pomiar szybkości

Dalsza lektura

Materiał referencyjny