Naładowana kula — zadanie: gęstość rośnie z odległością od środka

Rozwiązanie

1. Całkowanie po powłokach

Q_{\mathrm{wew}}(r)=\frac{4\pi\rho_0}{R}\int_0^r s^3\,ds=\frac{\pi\rho_0r^4}{R}.

Q=\pi\rho_0R^3\approx0{,}754\ \mathrm{nC}.

Średnia gęstość wynosi 3ρ₀/4. Użycie gęstości na brzegu dla całej objętości zawyżyłoby Q.

2. Pole z zamkniętego ładunku

E_r=\frac{\rho_0r^2}{4\varepsilon_0R}\quad(r\lt R),

E_r=\frac{\rho_0R^3}{4\varepsilon_0r^2}\quad(r>R).

Obie granice przy r = R dają ρ₀R/(4ε₀) ≈ 169,49 V/m. W połowie promienia pole wynosi 42,37 V/m, jedną czwartą wartości powierzchniowej. Dla jednorodnej gęstości byłaby to połowa. Niezerowa gęstość objętościowa przy brzegu nie jest osobną warstwą powierzchniową.

3. Potencjał środka

Potencjał powierzchni to kQ/R = ρ₀R²/(4ε₀) ≈ 33,90 V. Dodajemy przyrost do środka:

V(0)=\frac{\rho_0R^2}{4\varepsilon_0}+\int_0^R\frac{\rho_0r^2}{4\varepsilon_0R}\,dr.

V(0)=\frac{\rho_0R^2}{3\varepsilon_0}\approx45{,}20\ \mathrm V.

Stosunek wynosi 4/3, nie 3/2. Współczynnik 3/2 był cechą jednorodnego rozkładu, a nie każdej kuli. Symetria upraszcza geometrię, lecz nie zastępuje informacji o radialnym profilu gęstości.

Powiązana teoria

Naładowana kula: pole i potencjał w izolatorze oraz przewodniku

Dalsza lektura

Materiał referencyjny