Podwojenie masy przy takim samym oporze liniowym

Rozwiązanie

Porównujemy ten sam model oporu

Dla liniowego oporu F=bv stan graniczny wymaga mg=bv_g. Stąd v_g=mg/b. Współczynnik b jest dla obu ciał ten sam, g także. Dwukrotnie większa masa daje więc dwukrotnie większą graniczną szybkość.

Początek spadania jest innym stanem

Przy puszczeniu od spoczynku v=0, więc bv=0. Druga zasada Newtona daje ma=mg i a=g niezależnie od masy. Równość początkowych przyspieszeń oraz różnica prędkości granicznych nie przeczą sobie, ponieważ porównują inne etapy ruchu.

W ilorazie skracają się wspólne b i g

\frac{v_{g2}}{v_{g1}}=\frac{m_2g/b}{m_1g/b}=\frac{m_2}{m_1}=2,\qquad a(0)=g-\frac bm\,0=g.

Pierwsze równanie opisuje granicę długiego spadania, drugie dokładną chwilę puszczenia. Nie porównują tej samej chwili. Jednostka b musi być kg/s, ponieważ bv ma mieć jednostkę siły. Gdyby opór był proporcjonalny do v², przy tej samej zmianie masy otrzymalibyśmy czynnik √2, a nie 2.

Wynik

Druga prędkość graniczna jest dwa razy większa, bo v_g=mg/b. Początkowe przyspieszenia są jednak jednakowe i wynoszą g. Wtedy v=0, więc opór nie działa. Porównanie różnych etapów spadania daje różne zależności od masy.

Skala czasu też się zmienia

Dla tego modelu czas charakterystyczny τ=m/b jest dwukrotnie większy dla cięższego ciała. W rozwiązaniu v=v_g(1−e^{−t/τ}) zarówno graniczna szybkość, jak i skala narastania zależą od masy. Przy bardzo małym t rozwinięcie daje v≈v_g t/τ=gt, zgodnie z początkowym przyspieszeniem g.

Wariant: jeżeli w danej chwili oba ciała mają tę samą niezerową szybkość v, działa na nie taka sama siła oporu bv. Dla cięższego opór daje mniejsze opóźnienie bv/m, więc jego przyspieszenie w dół jest większe. To trzecie, odmienne porównanie. Zawsze trzeba dopowiedzieć, czy zestawiamy start, tę samą chwilową szybkość, czy stan graniczny.

Dodatkowa kontrola

Załóżmy przykładowo b=0,20 kg/s, masy 0,10 i 0,20 kg oraz g=10 m/s². Graniczne szybkości wyniosą 5 i 10 m/s, czasy charakterystyczne 0,5 i 1 s. Początkowo oba ciała mają jednak 10 m/s². Ten konkretny przykład odtwarza wszystkie proporcje bez przyjmowania, że graniczne szybkości osiągnięto natychmiast.

Powiązana teoria

Opór ośrodka i prędkość graniczna: spadanie nie zawsze stale przyspiesza

Dalsza lektura

Materiał referencyjny