Opór ośrodka i prędkość graniczna: spadanie nie zawsze stale przyspiesza

Potrzebne wiadomości: Druga zasada dynamiki, siła wypadkowa i wykres prędkości.

Model siły przeciwnej do ruchu

Opór zależy od prędkości względem ośrodka, kształtu i właściwości płynu. W uproszczonym ruchu pionowym w dół możemy przyjąć wartość F_o=bv albo F_o=cv^2, dla v dodatniego w dół. Te zależności opisują różne zakresy; nie stosujemy obu jednocześnie do tych samych danych bez modelu przejściowego.

Po pominięciu wyporu równanie wynosi m\,dv/dt=mg-F_o. Początkowo v=0, opór jest zerowy. W miarę wzrostu prędkości opór rośnie, a przyspieszenie maleje. Przy granicznej prędkości F_o=mg: dla modelu liniowego v_g=mg/b, dla kwadratowego v_g=\sqrt{mg/c}.

Spoczynek i równowaga sił to nie to samo

Ciało osiągające stałą prędkość graniczną ma zerową siłę wypadkową, ale nadal się porusza. Dla m=0,020 kg, g=10 m/s² i c=0,050 kg/m graniczna szybkość wynosi 2 m/s. Wzór ma sens wymiarowy: mg/c ma jednostkę m²/s².

Większa masa przy tym samym c daje większą prędkość graniczną. Nie oznacza to większego przyspieszenia w idealnym spadku bez oporu. Rzeczywiste ciało może nie zdążyć zbliżyć się do v_g podczas krótkiego lotu. Opór skierowany względem wiatru, wypór i zmiana orientacji mogą zmienić wynik.

Dlaczego spadanie może przestać przyspieszać?

W próżni, blisko powierzchni planety, model stałego g daje stale rosnącą szybkość spadania. W ośrodku rosnąca szybkość zwykle zwiększa opór. W pewnym zakresie opór może zrównoważyć ciężkość i wtedy wypadkowa siła staje się zerowa. Ciało nadal spada, lecz nie zwiększa szybkości. Zerowe przyspieszenie nie oznacza ani spoczynku, ani braku działających sił.

Prędkość graniczna zależy od modelu oporu, masy, kształtu i właściwości ośrodka. Dla małych odpowiednich prędkości w przepływie laminarnym często używa się oporu proporcjonalnego do v. Dla wielu szybszych przepływów przydatna jest zależność od v². Nie wybieramy między nimi wyłącznie dlatego, że jeden wzór łatwiej policzyć. W zadaniach podana zależność definiuje model; w doświadczeniu trzeba byłoby sprawdzić, czy opisuje rozpatrywany zakres.

Równanie ze znakami

Przyjmijmy pion w dół jako dodatni. Podczas ruchu w dół siła ciężkości ma+mg, a opór−bv albo−cv². Wtedy ma=mg−bv lub ma=mg−cv². Jeśli ciało może zmienić zwrot, zapis kwadratowy należy uogólnić do−cv|v|, aby opór zawsze przeciwdziałał prędkości względem ośrodka. Samo−cv² miałoby nieprawidłowy zwrot po rozpoczęciu ruchu w górę.

W tych przykładach ośrodek jest nieruchomy, a wypór pomijamy zgodnie z treścią. Gdyby wypór był znaczący i stały, w bilansie zastąpiłby mg efektywną siłą mg−F_w. Gdy ośrodek płynie, w sile oporu trzeba użyć prędkości względnej. Stała c ma jednostkę kg/m, bo cv² musi być w niutonach. Stała b ma kg/s; nie wolno podstawiać jednej w miejsce drugiej.

Przykład: opór kwadratowy

Dla masy 0,080 kg, c=0,050 kg/m i g=10 m/s² warunek graniczny daje 0,80−0,050v_g²=0. Stąd v_g²=16 m²/s² i v_g=4 m/s. Wybieramy dodatni pierwiastek dla spadania w ustalonym zwrocie. Jednostka mg/c to m²/s², więc pierwiastek rzeczywiście daje szybkość. Liczba 4 nie jest szybkością w momencie puszczenia, gdy ciało startuje od spoczynku.

Przy v=2 m/s opór wynosi 0,20 N, wypadkowa 0,60 N i a=7,5 m/s². Przy v=4 m/s wypadkowa jest zerowa. Przy hipotetycznym v=6 m/s opór 1,80 N przewyższa ciężkość 0,80 N i a=−12,5 m/s². Pole przyspiesza ciało ku wartości granicznej z obu stron: zbyt wolno spadające rozpędza, zbyt szybko spadające hamuje. Nie odwraca natychmiast prędkości tylko dlatego, że przyspieszenie stało się ujemne.

Przykład: opór liniowy i rola masy

Dla F_op=bv warunek równowagi daje v_g=mg/b. Dwa ciała o tym samym b i dwukrotnie różnych masach mają dwukrotnie różne prędkości graniczne. Tuż po puszczeniu od spoczynku v=0, więc oba mają a=g. Zależność od masy jest zatem inna na początku i w stanie granicznym. Te wyniki nie przeczą sobie: dotyczą innych chwil i innych wartości oporu.

Rozwiązanie równania dla spadania od spoczynku ma postać v(t)=v_g(1−e^{−t/τ}), gdzie τ=m/b. Po czasie τ szybkość osiąga około 63,2% wartości granicznej, po 3τ około 95,0%. Przy stałym b większa masa zwiększa zarówno v_g, jak i czas charakterystyczny. W idealnym ciągłym modelu granica jest osiągana asymptotycznie, lecz w pomiarze zwykle wystarcza dojście do niej z określoną dokładnością.

Co dzieje się z energią?

Przy stałej prędkości energia kinetyczna nie rośnie, ale energia potencjalna maleje. Grawitacja dostarcza moc mgv_g, a opór odbiera w tej idealizacji taką samą moc ruchu. Energia przechodzi m.in. w ruch ośrodka i ogrzewanie. Nie znika przez to, że siły się zrównoważyły. Równowaga sił nie oznacza zerowej pracy każdej siły, gdy ciało się przemieszcza.

Sprawdź się: dla masy 0,10 kg i c=0,080 kg/m ciało spada z 5 m/s. Odpowiedź: ciężkość 1 N, opór 2 N, a=−10 m/s². Jego prędkość graniczna wynosi √12,5≈3,54 m/s, więc chwilowe hamowanie jest zgodne z modelem. Ujemne a oznacza malejącą dodatnią prędkość, a nie już trwający ruch w górę.

Jak zapisać opór poprawnie także podczas ruchu w górę?

Wartość cv² nie zawiera informacji o zwrocie. Niech dodatni zwrot osi będzie w dół, a v oznacza składową prędkości względem nieruchomego ośrodka. Zapis siły −cv² jest właściwy tylko dla v≥0. W obu kierunkach poprawna składowa ma postać:

F_{\mathrm{op},y}=-c|v|v,\qquad m\frac{dv}{dt}=mg-c|v|v.

Gdy ciało leci w górę, v<0 i −c|v|v>0: opór oraz ciężkość są skierowane w dół. Gdy spada, opór jest ujemny. Dla oporu liniowego analogicznie F_op,y=−bv. W poruszającym się ośrodku w tych wzorach występuje prędkość względna v−u, gdzie u jest składową prędkości ośrodka względem laboratorium. „Opór przeciwny do ruchu” zawsze wymaga dopowiedzenia: do ruchu względem czego? Graniczna szybkość w tej lekcji dotyczy spadania w nieruchomym ośrodku, przy stałych g i parametrach oporu oraz pominiętym wyporze.

Zadania do tego tematu

• Graniczna szybkość lekkiego modelu z oporem kwadratowym
• Podwojenie masy przy takim samym oporze liniowym
• Opór większy od ciężkości i znak przyspieszenia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny