Graniczna szybkość lekkiego modelu z oporem kwadratowym

Rozwiązanie

Stan graniczny oznacza zerową wypadkową

Podczas spadania ciężkość mg działa w dół, opór cv² w górę. Przy granicznej stałej szybkości przyspieszenie jest zerowe, więc mg=cv_g². Nie zerujemy każdej siły osobno: obie są niezerowe i mają równe wartości.

Obliczamy dodatnią szybkość

Ciężkość wynosi 0,080·10=0,80 N. Zatem v_g²=0,80/0,050=16 m²/s² i v_g=4 m/s. Jednostka c=kg/m sprawia, że mg/c ma wymiar m²/s²; pierwiastek daje metry na sekundę. Wybieramy wartość dodatnią dla szybkości spadania.

Dzielimy przez współczynnik oporu, potem pierwiastkujemy

mg=cv_g^2\ \Longrightarrow\ v_g^2=\frac{mg}{c}=\frac{(0{,}080\,\mathrm{kg})(10\,\mathrm{m/s^2})}{0{,}050\,\mathrm{kg/m}}=16\,\mathrm{m^2/s^2},\qquad v_g=4\,\mathrm{m/s}.

Pierwiastek wybieramy dodatni, bo szukamy szybkości. Równowaga zachodzi między ciężkością 0,80 N a oporem 0,80 N. Przy puszczeniu od spoczynku punkt na wykresie oporu leży w zerze, a nie w punkcie przecięcia z linią ciężkości.

Wynik

v_g=\sqrt{0{,}080\cdot10/0{,}050}=4 m/s. Wartość dotyczy stanu granicznego, nie prędkości zaraz po puszczeniu.

Wynik nie opisuje całego lotu

Tuż po puszczeniu od spoczynku opór wynosi zero i przyspieszenie jest g. W miarę wzrostu v opór rośnie, a przyspieszenie maleje. Przy 2 m/s opór wynosi 0,20 N, a=(0,80−0,20)/0,080=7,5 m/s². To pośredni stan, jeszcze nie prędkość graniczna.

Wariant: przy tej samej c czterokrotnie większa masa dałaby dwukrotnie większą prędkość graniczną, ponieważ v_g zależy od pierwiastka masy. Nie można stosować tej proporcji bez sprawdzenia, czy większy przedmiot ma rzeczywiście taki sam współczynnik oporu. W zadaniu c jest danym parametrem modelu, a wypór został jawnie pominięty.

Dodatkowa kontrola

W stanie granicznym grawitacja dostarcza moc mgv_g=0,80·4=3,2 W, a opór odbiera z ruchu taką samą moc. Energia kinetyczna jest stała, ale energia potencjalna maleje. Zatem zerowa wypadkowa nie oznacza braku przepływu energii: oddziaływania przekazują ją ośrodkowi, między innymi w postaci ruchu i ogrzewania.

Powiązana teoria

Opór ośrodka i prędkość graniczna: spadanie nie zawsze stale przyspiesza

Dalsza lektura

Materiał referencyjny