Odchylenie środkowej masy: wybierz mody i podziel energię

Rozwiązanie

Rzutuj stan początkowy na trzy kształty

Iloczyn skalarny z każdym podanym wektorem daje q₁(0) = A/√2, q₂(0) = 0 i q₃(0) = −A/√2. Wszystkie prędkości normalne są zerowe. Ujemny znak q₃ jest potrzebny, aby wkłady na skrajnych masach zniosły się w chwili startu.

q_1(t)=\frac A{\sqrt2}\cos(\omega_1t),\quad q_2(t)=0,\quad q_3(t)=-\frac A{\sqrt2}\cos(\omega_3t).

Złóż rzeczywiste wychylenia

x_1(t)=x_3(t)=\frac A{2\sqrt2}[\cos(\omega_1t)-\cos(\omega_3t)],\quad x_2(t)=\frac A2[\cos(\omega_1t)+\cos(\omega_3t)].

W chwili zero wychylenia skrajne się znoszą, a środkowe dodają do A. Pochodne są zerowe. Równość x₁ = x₃ przez cały czas potwierdza symetrię przygotowania; mod z przeciwnymi skrajnymi wychyleniami nie jest potrzebny.

Wyższy mod otrzymuje więcej energii

Na początku odkształcone są tylko dwie sprężyny sąsiadujące ze środkiem, każda o A. Energia całkowita wynosi E = KA² = 20·0,020² = 0,0080 J. Dla modów E₁ = mω₁²A²/4 oraz E₃ = mω₃²A²/4. Ponieważ ω₁² = (K/m)(2 − √2), a ω₃² = (K/m)(2 + √2):

\frac{E_1}{E}=\frac{2-\sqrt2}{4}\approx0{,}14645,\qquad \frac{E_3}{E}=\frac{2+\sqrt2}{4}\approx0{,}85355.

Odpowiednio 14,64% i 85,36%, czyli około 1,172 mJ i 6,828 mJ. Mod drugi nie otrzymuje energii. Jednakowe wartości amplitud normalnych obu wzbudzonych modów znów nie oznaczają równego podziału energii.

Powiązana teoria

Łańcuch między ścianami: dozwolone mody i wybór miejsca pobudzenia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny