Trzy masy, cztery sprężyny: częstości i nieruchomy środek

Rozwiązanie

Trzy dozwolone kształty, trzy częstości

Dla m = 0,20 kg i K = 20 N/m mamy 2√(K/m) = 20 rad/s. Kolejne kąty w sinusie wynoszą π/8, π/4 i 3π/8:

\omega_1\approx7{,}654\ \mathrm{rad/s},\quad\omega_2\approx14{,}142\ \mathrm{rad/s},\quad\omega_3\approx18{,}478\ \mathrm{rad/s}.

Dzieląc każdą wartość przez 2π, otrzymujemy f₁ ≈ 1,218 Hz, f₂ ≈ 2,251 Hz i f₃ ≈ 2,941 Hz. Nie zaokrąglamy ich do wielokrotności jednej częstości. To dyskretny łańcuch trzech mas.

Środek pozostaje w równowadze sił

Dla x₁ = +0,010 m, x₂ = 0 i x₃ = −0,010 m siła lewej sprężyny na środkową masę wynosi K(x₁ − x₂) = +0,200 N. Siła prawej: K(x₃ − x₂) = −0,200 N. Suma jest zerowa. Taka równowaga utrzymuje się podczas całego czystego modu, bo x₃(t) = −x₁(t).

Obie sprężyny nadal przenoszą niezerowe siły i przechowują energię. Środkowa masa nie porusza się, ponieważ siły się równoważą, a nie dlatego, że połączenia zniknęły. Inny stan początkowy, na przykład odchylenie tylko lewej masy, wzbudzi także pozostałe mody i środek zacznie się poruszać.

Powiązana teoria

Łańcuch między ścianami: dozwolone mody i wybór miejsca pobudzenia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny