Pchnij drugi z pięciu wózków: który mod pozostanie niewzbudzony?

Rozwiązanie

1. Pięć kształtów widzianych z drugiego wózka

Dla r = 1, 2, 3, 4, 5 wartości e₂⁽ʳ⁾ wynoszą kolejno (1/2; 1/2; 0; −1/2; −1/2). Stąd prędkości normalne to (0,060; 0,060; 0; −0,060; −0,060) m/s. Mod r = 3 ma węzeł na drugiej masie i nie zostaje wzbudzony. Nie oznacza to nieruchomego drugiego wózka: właśnie ten wózek otrzymał niezerową prędkość, odtwarzaną przez cztery pozostałe mody.

2. Energia pchnięcia

Cała energia początkowa wynosi mV²/2 = 0,10·0,12²/2 = 0,00072 J = 0,72 mJ. Każdy niezerowy współczynnik ma kwadrat 1/4, zatem E₁ = E₂ = E₄ = E₅ = 0,18 mJ, a E₃ = 0. Ujemna prędkość normalna nie oznacza ujemnej energii.

3. Ruch po pchnięciu

Częstości wynoszą ω_r = 20 sin(rπ/12) rad/s, czyli kolejno około 5,176; 10,000; 14,142; 17,321; 19,319 rad/s. Dla każdego r:

q_r(t)=\frac{e_2^{(r)}V}{\omega_r}\sin(\omega_rt),\qquad x_j(t)=V\sum_{r=1}^{5}\frac{e_j^{(r)}e_2^{(r)}}{\omega_r}\sin(\omega_rt).

Człon r = 3 jest zerowy. W chwili startu wszystkie sinusy znikają. Pochodna daje v_j(0) = V Σe_j^(r)e₂^(r), czyli V dla j = 2 oraz zero dla pozostałych j, dzięki ortonormalności kształtów.

4. Odchylenie daje inny podział energii

Dla początkowego odchylenia A drugiej masy energia całkowita to KA², ponieważ odkształcone są dwie sąsiednie sprężyny. E_r/E = [mω_r²/(2K)]·[e₂^(r)]². Otrzymujemy:

\frac{(E_1,E_2,E_3,E_4,E_5)}{E}=\left(\frac{2-\sqrt3}{8},\frac18,0,\frac38,\frac{2+\sqrt3}{8}\right).

To około (3,35%; 12,50%; 0%; 37,50%; 46,65%). Suma wynosi 100%. W obu przygotowaniach mod trzeci pozostaje niewzbudzony; równe udziały pozostałych modów były szczególną własnością pchnięcia, nie samego miejsca pobudzenia.

Powiązana teoria

Łańcuch między ścianami: dozwolone mody i wybór miejsca pobudzenia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny