Łańcuch między ścianami: dozwolone mody i wybór miejsca pobudzenia

Potrzebne wiadomości: Prawo Hooke’a, druga zasada dynamiki, oscylator harmoniczny, pochodne sinusa i cosinusa oraz suma skończona.

Każda masa odczuwa różnicę dwóch odkształceń

Rozważamy N ≥ 1 jednakowych mas m. Łączymy je N + 1 jednakowymi, bezmasowymi sprężynami o sztywności K. Skrajne sprężyny są przymocowane do nieruchomych ścian. Masy mają m > 0, sprężyny K > 0. Ruch jest podłużny, liniowy i bez tłumienia; wózki nie zderzają się. Na wejściu wystarcza model pojedynczego oscylatora. Mod normalny oznacza tutaj wspólny ruch o jednej częstości i stałych proporcjach wychyleń. x_j oznacza wychylenie j-tej masy wzdłuż łańcucha, dodatnio w prawo. Pomocnicze współrzędne ścian wynoszą x₀ = x_N+1 = 0.

Sprężyna z prawej zmienia długość o x_j+1 − x_j, a z lewej o x_j − x_j−1. Wypadkowa siła daje:

m\ddot x_j=K(x_{j+1}-2x_j+x_{j-1}),\qquad j=1,\ldots,N.

Ten sam wzór działa dla mas przy ścianach właśnie dlatego, że wpisaliśmy zerowe współrzędne końców. Nie dodaliśmy dwóch dodatkowych ruchomych mas. Gdy usuniemy sprężynę przy ścianie, równanie skrajnej masy się zmieni i nie wolno dalej używać tego samego warunku.

Kształt sinusoidalny sprawdź w równaniu

Szukamy ruchu x_j(t) = A_j cos(ωt + φ). Dla kształtu A_j = C sin(jθ) tożsamość sin[(j + 1)θ] + sin[(j − 1)θ] = 2 sin(jθ) cos θ daje:

-m\omega^2 A_j=2K(\cos\theta-1)A_j,\qquad \omega^2=\frac{4K}{m}\sin^2\frac\theta2.

C jest amplitudą w metrach, a θ bezwymiarowym przyrostem fazy pomiędzy sąsiadami. Lewa ściana spełnia warunek sin0 = 0. Prawa wymaga sin[(N + 1)θ] = 0. Niezerowe, niezależne kształty otrzymujemy dla:

\theta_r=\frac{r\pi}{N+1},\quad A_j^{(r)}=C\sin\frac{jr\pi}{N+1},\quad\omega_r=2\sqrt{\frac Km}\sin\frac{r\pi}{2(N+1)},\quad r=1,\ldots,N.

Wybór r = 0 dałby same zerowe wychylenia, nie dodatkowy mod nieruchomych ścian. Z kolei r = N + 1 daje sin(jπ) = 0 dla każdej masy. Wyższe całkowite wartości r powtarzają znane dyskretne kształty z możliwą zmianą znaku. Mamy dokładnie N niezależnych modów dla N stopni swobody.

Trzy masy można obejrzeć bez rachunku macierzowego

Dla N = 3 kształty, z tą samą umowną wartością C, są następujące: r = 1 daje (1/√2; 1; 1/√2), r = 2 daje (1; 0; −1), a r = 3 daje (1/√2; −1; 1/√2). W pierwszym ruchu wszystkie masy wychylają się zgodnie. W drugim środkowa pozostaje nieruchoma. W trzecim środkowa porusza się przeciwnie do skrajnych.

Niech m = 0,20 kg i K = 20 N/m. Wtedy √(K/m) = 10 rad/s, a częstości trzech modów wynoszą około 7,654; 14,142 i 18,478 rad/s. Częstotliwości to odpowiednio 1,218; 2,251 i 2,941 Hz. Nie są całkowitymi wielokrotnościami pierwszej. Takie harmoniczne pojawiają się dopiero w odpowiedniej granicy ciągłego, niedyspersyjnego modelu, a nie dla dowolnego krótkiego łańcucha.

W modzie r = 2 nieruchoma środkowa masa nie oznacza odłączenia sprzężenia. Siły jej dwóch sprężyn równoważą się dzięki przeciwnym wychyleniom sąsiadów. Gdy nadamy tej masie dodatkową początkową prędkość, ruch przestanie być czystym modem r = 2.

Jak złożyć dowolny stan początkowy?

Możemy użyć kształtów o jednostkowej sumie kwadratów:

e_j^{(r)}=\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{jr\pi}{N+1},\qquad q_r(0)=\sum_{j=1}^{N}e_j^{(r)}x_j(0).

W ten sam sposób obliczamy q̇_r(0) z prędkości. Dla jednakowych mas te wektory są ortonormalne: suma iloczynów e_j^(r)e_j^(s) jest równa 1 dla r = s i 0 dla różnych modów. Właśnie to pozwala odzyskać współrzędne jako x_j(t) = Σ e_j^(r)q_r(t). Każde q jest niezależnym oscylatorem o swojej ω_r.

Na przykład przesunięcie wyłącznie środkowej z trzech mas nie wzbudza modu r = 2, ponieważ jego środkowy współczynnik jest zerowy. Wzbudza jednak oba pozostałe mody. Tę selekcję można przewidzieć z symetrii: początkowo lewa i prawa strona wyglądają identycznie, podczas gdy r = 2 wymaga przeciwnych wychyleń skrajnych mas.

Miejsce pchnięcia wybiera mody

Niech wszystkie masy zaczynają w równowadze, a tylko masa o numerze ℓ otrzyma prędkość V. Traktujemy to jako zadany stan po krótkim pchnięciu; podczas dalszego ruchu żadna zewnętrzna siła nie wymusza drgań. Z rzutu prędkości na kształty otrzymujemy:

q_r(0)=0,\qquad \dot q_r(0)=e_\ell^{(r)}V,\qquad q_r(t)=\frac{e_\ell^{(r)}V}{\omega_r}\sin(\omega_rt).

Jeśli w miejscu pchnięcia dany mod ma węzeł, czyli e_ℓ^(r) = 0, nie zostanie wzbudzony. To własność przestrzennego kształtu. Nie wystarczy powiedzieć, że dotknięto jednego wózka: istotne jest, którego. Modu niewzbudzonego nie należy też mylić z chwilowym zerem cosinusa podczas jego ruchu.

Cała energia startu wynosi mV²/2. Udział r-tego modu to [e_ℓ^(r)]², ponieważ początkowo energia jest wyłącznie kinetyczna. Dla samego odchylenia tej masy o A jest inaczej: E_r = mω_r²[e_ℓ^(r)A]²/2. Lista niewzbudzonych modów jest taka sama, lecz podział energii już nie. Częstość waży energię odkształcenia, a nie energię tego samego początkowego pchnięcia.

Energia i granice modelu

Całkowita energia uwzględnia wszystkie N + 1 sprężyn, również obie przy ścianach:

E=\frac m2\sum_{j=1}^{N}\dot x_j^2+\frac K2\sum_{j=0}^{N}(x_{j+1}-x_j)^2=\sum_{r=1}^{N}\frac m2\left(\dot q_r^2+\omega_r^2q_r^2\right).

Każda różnica dotyczy jednego odcinka. Pominięcie skrajnych sprężyn zmieniłoby zarówno bilans, jak i częstości. Wzory zakładają jednakowe masy i sztywności oraz stałe zamocowania. Dla niejednorodnego łańcucha nadal można szukać modów, lecz proste sinusy nie muszą być rozwiązaniami.

Usunięcie zamocowania zmienia siłę na skrajną masę. W lekcji o swobodnych i mieszanych końcach wyprowadzimy nowe kształty, w tym ruch środka masy bez drgań.

Zadania do tego tematu

• Trzy masy, cztery sprężyny: częstości i nieruchomy środek
• Odchylenie środkowej masy: wybierz mody i podziel energię
• Pchnij drugi z pięciu wózków: który mod pozostanie niewzbudzony?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny