Ten sam moment napędu, różne przyspieszenia kątowe

Rozwiązanie

Porównujemy zmianę prędkości obrotu

Przyspieszenie kątowe α („alfa”) mówi, jak szybko zmienia się prędkość kątowa ω, a nie jak szybko model obraca się w danej chwili. Podano α₁=2 rad/s² i α₂=5 rad/s². Moment bezwładności I, wyrażony w kg·m², zależy od masy oraz jej rozmieszczenia względem wybranej osi.

Wielkością wspólną dla obu prób jest wypadkowy moment sił τ („tau”), czyli suma momentów napędu i oporów ze znakami. Jego jednostką jest N·m. Nie wystarczy zapewnić tej samej siły: dla ramienia prostopadłego d moment wynosi Fd. Treść gwarantuje jednak ten sam moment wypadkowy, więc możemy użyć go bez dodatkowych poprawek.

Stosunek momentów bezwładności

Dla każdego modelu przyjmujemy stałą oś i niezmienny rozkład masy podczas pomiaru. Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego daje \tau=I\alpha, zatem:

\tau=I_1\alpha_1,\qquad \tau=I_2\alpha_2,\qquad I_1\alpha_1=I_2\alpha_2.

Dzielimy ostatnie równanie przez I_1\alpha_2. Obie wielkości są dodatnie w rozpatrywanych próbach:

\frac{I_2}{I_1}=\frac{\alpha_1}{\alpha_2}=\frac{2\ \mathrm{rad/s^2}}{5\ \mathrm{rad/s^2}}=0{,}40.

Odpowiedź: I₂/I₁=0,40. Drugi model ma 2,5 razy większe przyspieszenie kątowe przy tym samym momencie, dlatego jego moment bezwładności jest 2,5 razy mniejszy. Odwrotny wynik 2,5 przewidywałby jednocześnie większy opór wobec rozpędzania i większe przyspieszenie, sprzecznie z równaniem.

b) Od proporcji do wielkości z jednostkami

Znając dodatkowo I_1=0{,}10\ \mathrm{kg\,m^2}, obliczamy I_2=0{,}40I_1=0{,}040\ \mathrm{kg\,m^2}. Wspólny moment wyznaczamy z pierwszej próby:

\tau=I_1\alpha_1=0{,}10\cdot2=0{,}20\ \mathrm{N\,m}.

Kontrola przez drugi model daje I_2\alpha_2=0{,}040\cdot5=0{,}20\ \mathrm{N\,m}. Otrzymaliśmy I₂=0,040 kg·m² i wspólny moment 0,20 N·m. Radian jest jednostką bezwymiarową w SI, więc kg·m²/s² ma wymiar N·m. Momentu siły nie nazywamy energią, mimo zgodności wymiarów.

c) Podwojenie momentu

Podwajamy moment wypadkowy do \tau'=0{,}40\ \mathrm{N\,m}, zachowując I_2=0{,}040\ \mathrm{kg\,m^2}. Wtedy:

\alpha'_2=\frac{\tau'}{I_2}=\frac{0{,}40}{0{,}040}=10\ \mathrm{rad/s^2}.

Odpowiedź w części c to 10 rad/s²: dwukrotny moment daje dwukrotne przyspieszenie kątowe przy stałym I. Nie wynika z tego, że w tej samej chwili prędkość kątowa także się podwoiła. Gdyby ten moment działał przez 0,30 s, przyrost wyniósłby \Delta\omega=\alpha'_2\Delta t=3{,}0\ \mathrm{rad/s}; do wyznaczenia pełnej prędkości końcowej potrzebujemy jeszcze początkowej.

Jak nie pomylić własności modelu z warunkami napędu?

W doświadczeniu należy zachować tę samą oś i rozkład masy w obrębie każdej próby oraz uwzględnić moment oporów. Gdy dwukrotnie zwiększymy siłę, ale dwukrotnie zmniejszymy jej ramię, moment pozostanie ten sam. Przy różnym tarciu w osiach jednakowe momenty napędu nie muszą dać jednakowych momentów wypadkowych. Sama większa α nie dowodzi wtedy mniejszego I.

Wynik 0,40 nie wyznacza też stosunku mas. Dwa modele o tej samej masie mogą mieć inne momenty bezwładności, jeśli masę rozłożono bliżej lub dalej od osi. Właśnie dlatego w tym zadaniu porównujemy momenty bezwładności, a nie „ciężkość” modeli.

Powiązana teoria

Pracownia: tarcie, zderzenia i obrót bez zgadywania wyniku

Dalsza lektura

Materiał referencyjny