Skala czasu odwrotności parametru ekspansji

Rozwiązanie

Odwrotność liczby to jeszcze nie odwrotność wielkości

Nie możemy zapisać 1/70 s, bo jednostką podanego H₀ nie jest s⁻¹ w takim prostym zapisie. Mamy H_0=70\,\mathrm{km/(s\cdot Mpc)}. Megaparsek jest długością; podaną relację między Mpc i km trzeba wprowadzić, zanim zaczniemy odczytywać wynik w sekundach.

Usuwamy jednostkę megaparseka

H_0=70\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s\cdot Mpc}} \cdot\frac{1\,\mathrm{Mpc}}{3{,}086\cdot10^{19}\,\mathrm{km}} =\frac{70}{3{,}086\cdot10^{19}}\,\mathrm{s^{-1}} \approx2{,}2683\cdot10^{-18}\,\mathrm{s^{-1}}.

Jednostki km i Mpc skróciły się. Teraz odwracamy całą wielkość: t_H=\frac1{H_0}=\frac{3{,}086\cdot10^{19}}{70}\,\mathrm s \approx4{,}4086\cdot10^{17}\,\mathrm s.

Z sekund do miliardów lat

t_H=\frac{4{,}4086\cdot10^{17}\,\mathrm s} {3{,}156\cdot10^7\,\mathrm{s/rok}} \approx1{,}3969\cdot10^{10}\,\mathrm{lat} =13{,}97\,\mathrm{mld\ lat}.

Kontrola potęg: 10¹⁷/10⁷ daje 10¹⁰, nie 10²⁴. Miliard to 10⁹, więc liczbę 1,3969 · 10¹⁰ dzielimy jeszcze przez 10⁹. Zgodnie z przyjętymi danymi wystarczającą odpowiedzią jest około 14 mld lat.

Ta sama dzisiejsza wartość H nie ustala całej historii

W modelu jednorodnej ekspansji H = ȧ/a. Weźmy historię a(t)=C t^q dla dodatnich t i stałego q. Z pochodnej dostajemy \dot a=qCt^{q-1}, a po podzieleniu przez a: H(t)=q/t,\qquad t_0=q/H_0. Dla q = 1 wiek modelu wynosi 1/H₀. Dla q = 2/3 wynosi 2/(3 H₀), czyli przy tym samym zadanym H₀ około 9,31 mld lat. To kontrprzykład dla tezy, że odwrotność dzisiejszego H musi być wiekiem.

W obu panelach jednostką czasu jest 1/H₀. Modele służą porównaniu matematycznemu; nie podpisujemy żadnego z nich jako zmierzonej pełnej historii Wszechświata.

Odpowiedź: 1/H₀≈13,97 mld lat, lecz nie musi to być dokładny wiek Wszechświata. Parametr H opisuje bieżące względne tempo zmiany skali. Do wyznaczenia wieku potrzeba informacji o wcześniejszym przebiegu ekspansji. Nie ustalamy jej na podstawie samej dzisiejszej jednej liczby.

Powiązana teoria

Wielki Wybuch i ekspansja: model gorącego początku, nie wybuch w pustym pokoju

Dalsza lektura

Materiał referencyjny