Odległość w liniowym modelu Hubble’a

Rozwiązanie

Co oznaczają dane?

Parametr H₀ = 75 km/(s·Mpc) mówi, że w przyjętym liniowym modelu prędkość oddalania wzrasta o 75 km/s na każdy dodatkowy megaparsek odległości. Szukamy odległości d, a nie czasu podróży światła. Dane: v = 3000 km/s, H₀ = 75 km/(s·Mpc).

W tym zadaniu wyrażenie „ruch własny” rozumiemy jako dodatkową prędkość galaktyki względem średniego przepływu kosmologicznego (prędkość osobliwą), a w równaniu dla oddalania — jej składową wzdłuż linii widzenia. Nie chodzi wyłącznie o obserwowany ruch kątowy obiektu na niebie.

Odwracamy zależność liniową

Z v = H₀d wynika d = v/H₀. W dzieleniu zachowujemy jednostkę Mpc w mianowniku H₀.

Wychodzimy od prawa Hubble’a–Lemaître’a: v=H_0d. Dzielimy obie strony przez niezerowe H₀: \frac{v}{H_0}=\frac{H_0d}{H_0}=d. Otrzymujemy d=\frac{v}{H_0}.

Podstawiamy liczby i skracamy jednostki

d=\frac{3000\ \mathrm{km/s}}{75\ \mathrm{km/(s\cdot Mpc)}}=\frac{3000}{75}\ \mathrm{Mpc}=40\ \mathrm{Mpc}. W zapisie jednostek km/s dzieli się przez km/(s·Mpc), więc zostaje Mpc. Nie jest to 40 km ani 40 sekund.

Odległość wynosi 40 Mpc. Jednostki km/s skracają się. Wynik opiera się na zadanym H₀ i liniowym przybliżeniu; nie jest samodzielnym pomiarem dokładnej odległości dowolnej galaktyki.

Podstawienie wsteczne

75 km/(s·Mpc) razy 40 Mpc odtwarza 3000 km/s. Bez założenia pomijalnego ruchu własnego ta kontrola sprawdzałaby tylko przyjęty model.

Podstawienie wsteczne daje H_0d=75\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s\cdot Mpc}}\cdot40\ \mathrm{Mpc}=3000\ \mathrm{km/s}, zgodnie z treścią. Dwukrotnie większa prędkość w tym samym modelu oznaczałaby dwukrotnie większą odległość, czyli 80 Mpc.

Odpowiedź: d = 40 Mpc. Jest to odległość wyznaczona z przyjętego modelu dla małych przesunięć ku czerwieni, przy pominięciu prędkości osobliwej galaktyki. Nie należy stosować wzoru bez poprawek do dowolnie odległych obiektów ani utożsamiać prędkości ekspansji z ruchem galaktyki przez lokalną przestrzeń.

Powiązana teoria

Wielki Wybuch i ekspansja: model gorącego początku, nie wybuch w pustym pokoju

Dalsza lektura

Materiał referencyjny