Cztery razy dłuższa ekspozycja przy szumie fotonowym

Rozwiązanie

Sygnał i szum rosną inaczej

Dłuższa ekspozycja zwiększa przeciętną liczbę fotonów proporcjonalnie do czasu, lecz jej statystyczny rozrzut rośnie jak pierwiastek. Dlatego iloraz nie poprawia się liniowo z czasem.

Początkowo S/N≈50. Czterokrotnie dłuższa ekspozycja daje przeciętnie 10 000 fotonów i S/N≈100. Stosunek poprawia się dwukrotnie, nie czterokrotnie. To wynik dla ograniczenia wyłącznie statystyką fotonów; innych źródeł szumu nie wolno dopisywać ani pomijać bez uzasadnienia.

Potrzebny czas dla zadanej poprawy

Aby w tym modelu podnieść S/N trzykrotnie, potrzeba dziewięć razy więcej fotonów. To inny cel niż zebranie trzykrotnie większego sygnału. Tło, odczyt i nasycenie mogą zmienić warunki zastosowania tej reguły.

Dlaczego pierwiastek daje tylko podwojenie?

Dla początkowych N = 2500 model daje rozrzut σ ≈ √N = 50. Sygnał wynosi 2500, więc jego stosunek do szumu to 2500/50 = 50. Po czterokrotnie dłuższym pomiarze przeciętny sygnał wynosi 10 000, a rozrzut 100. Stosunek jest równy 10 000/100 = 100. Szum bezwzględny rośnie, ale staje się mniejszą częścią sygnału.

Względne wahania spadają z 50/2500 = 2% do 100/10 000 = 1%. To dwa sposoby opisania tej samej poprawy. Poszczególne rzeczywiste zliczenia nadal są losowe; 10 000 jest oczekiwaną wartością, nie obietnicą dokładnej liczby w każdej ekspozycji.

Sprawdź sam: aby osiągnąć S/N = 150 w tym modelu, trzeba średnio 22 500 fotonów, czyli dziewięciokrotnie dłuższej ekspozycji niż początkowa. Wniosek obowiązuje przy stałym strumieniu i pominiętych innych źródłach szumu, tak jak podano w zadaniu.

Powiązana teoria

Teleskop: zbieranie światła, rozdzielczość i granice powiększenia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny