Niepewność modułu odległości i względna niepewność d

Rozwiązanie

Różniczkujemy funkcję odległości

μ jest już skorygowaną wielkością z uwzględnionymi składnikami niepewności. Nie dodajemy ponownie osobnego błędu ekstynkcji. Pochodna potęgi o podstawie 10 wprowadza czynnik ln 10.

Różniczkowanie daje u(d)/d\approx(\ln10/5)u(\mu)=0{,}04605, czyli około 4,61%. Jest to przybliżona niepewność standardowa dla niewielkiego u(μ), nie gwarantowany procentowy błąd. Dokładne przeliczenie szerokiego przedziału w skali logarytmicznej dawałoby asymetrię.

Standardowa niepewność to nie twardy przedział

4,61% opisuje lokalną propagację małej standardowej niepewności. Dla dużego zakresu μ trzeba przeliczać rozkład lub granice przez funkcję wykładniczą; wynik dla d nie będzie na ogół symetryczny.

Pochodna krok po kroku

Zapisujemy potęgę dziesięciu jako funkcję wykładniczą: d = 10 pc·exp[(ln 10)μ/5]. Różniczkowanie względem μ daje d′(μ) = d·ln 10/5. Dla małej niepewności stosujemy u(d) ≈ |d′(μ)|u(μ); po podzieleniu przez d skala odległości znika:

\frac{u(d)}{d}\approx\frac{2{,}302585}{5}\cdot0{,}10=0{,}0460517=4{,}60517\%.

Gdyby odległość centralna wynosiła 100 pc, odpowiadałoby to około 4,61 pc standardowej niepewności. Dla 1000 pc — około 46,1 pc, lecz taki sam procent. Te odległości są przykładami, ponieważ w treści nie podano wartości μ.

Przeliczenie punktów μ₀ ± 0,10 daje czynniki 10±⁰·⁰²: około 0,9550 i 1,0471. Asymetria jest niewielka, więc linearyzacja ma tutaj sens. Nie nazywamy jednak tego pewnym przedziałem odległości ani przedziałem o ustalonym prawdopodobieństwie bez dodatkowej wiedzy o rozkładzie μ.

Powiązana teoria

Moduł odległości i ekstynkcja — słabsze światło nie zawsze znaczy dalej

Dalsza lektura

Materiał referencyjny