Oświetlona kula i widoczna tarcza podczas kwadry

Rozwiązanie

Liczymy powierzchnię, a nie piksele na zdjęciu

W zadaniu występują dwa obiekty geometryczne: cała powierzchnia kulistego Księżyca oraz jego widoczna z Ziemi tarcza. Tarcza jest dwuwymiarowym obrazem. W idealnej geometrii dokładnej kwadry połowa widocznej półkuli jest oświetlona: to jedna czwarta powierzchni całej kuli. Ale zadanie nie pyta tylko o część widoczną. Druga oświetlona ćwiartka znajduje się za brzegiem Księżyca i nie jest z tego miejsca widoczna. Musimy policzyć obie.

1. Którędy przebiega granica dnia i nocy?

Promienie od odległego Słońca traktujemy jako w przybliżeniu równoległe. Każdy punkt kuli zwrócony ku Słońcu otrzymuje światło; punkty odwrócone są w nocy. Granica tych obszarów dzieli kulę na dwie półkule. Przy wykluczonym zaćmieniu nie ma dodatkowej przesłony, która zabierałaby światło jednej z nich.

2. Porównujemy pola powierzchni

Powierzchnia kuli o promieniu R ma pole 4πR², a półkula — 2πR². Szukany ułamek wynosi:

\frac{S_{\mathrm{oswietlona}}}{S_{\mathrm{cala}}}=\frac{2\pi R^2}{4\pi R^2}=\frac12.

Oświetlona jest około połowa całej powierzchni Księżyca. Do tego wniosku nie trzeba znać promienia: skrócił się w ilorazie. Wzory potwierdzają geometryczny podział, a nie tworzą nowego założenia.

3. Skąd jasna połowa widocznego krążka?

W kwadrze patrzymy na oświetloną półkulę z boku. Część jej znajduje się po stronie widocznej, a część za brzegiem Księżyca. Obraz pokazuje jasną połowę krążka i ciemną połowę. Na samej kuli oświetlona ćwiartka widoczna i oświetlona ćwiartka niewidoczna składają się na półkulę. Pomnożenie 1/2 przez 1/2 może więc poprawnie opisać ich widoczną część w dokładnej kwadrze, lecz nie całą powierzchnię oświetloną, o którą pyta zadanie.

Kontrola przez zmianę miejsca obserwacji

Gdyby obserwator obszedł kulę na stronę skierowaną ku Słońcu, widziałby jasny krążek, mimo że oświetlona nadal byłaby tylko jedna półkula. Po przejściu na stronę przeciwną widziałby ciemny krążek. Zmieniłby się obraz, nie udział oświetlonej powierzchni. To właśnie odróżnia zwykłe fazy od zaćmienia, w którym inne ciało zasłania dopływ promieniowania.

Powiązana teoria

Fazy Księżyca i miesiąc synodyczny — czego nie robi cień Ziemi?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny