Umowny księżyc: dwadzieścia dni gwiazdowych i dłuższy cykl faz

Rozwiązanie

Liczymy, jak szybko zmienia się układ kierunków

Miesiąc gwiazdowy mierzy obieg względem odległego tła. Miesiąc synodyczny mierzy powrót tego samego ustawienia względem gwiazdy, a więc cyklu faz. Ponieważ w czasie obiegu księżyca planeta także obiega gwiazdę, kierunek potrzebny do powtórzenia fazy nie stoi w miejscu.

1. Zamieniamy okresy na szybkości kątowe

W modelu równomiernych obiegów księżyc przechodzi 360° w 20 dni, a kierunek do gwiazdy zmienia się o pełny obrót w 300 dni:

\omega_K=\frac{360^\circ}{20\ \mathrm{dni}}=18^\circ/\mathrm{dzien},\qquad\omega_G=\frac{360^\circ}{300\ \mathrm{dni}}=1{,}2^\circ/\mathrm{dzien}.

Obie zmiany mają ten sam zwrot. Księżyc zyskuje względem kierunku do gwiazdy nie 18°, lecz 18° − 1,2° = 16,8° dziennie.

2. Czas uzyskania pełnych 360° przewagi

T_s=\frac{360^\circ}{16{,}8^\circ/\mathrm{dzien}}=\frac{150}{7}\ \mathrm{dnia}\approx21{,}43\ \mathrm{dnia}.

Miesiąc synodyczny trwa około 21,43 dnia. Ten sam rachunek można zapisać bez stopni:

\frac1{T_s}=\frac1{20\ \mathrm{dni}}-\frac1{300\ \mathrm{dni}}=\frac{14}{300}\ \mathrm{dzien}^{-1}.

Ostatnią wielkość trzeba odwrócić w całości. Wynik 14/300 ma jednostkę odwrotności czasu, więc nie może być od razu liczbą dni.

3. Sprawdzamy wzajemne położenie po tym czasie

W 150/7 dnia księżyc obraca swój kierunek o około 385,71°, a kierunek do gwiazdy o około 25,71°. Różnica wynosi dokładnie 360°. Po samych 20 dniach księżyc wykonałby 360°, ale kierunek do gwiazdy przesunąłby się już o 24°; cykl faz nie byłby zakończony.

Dlaczego wynik jest dłuższy od 20 dni?

Księżyc musi dogonić przesuwający się w tym samym zwrocie kierunek. Gdyby obiegi miały przeciwne zwroty, szybkości względne by się dodawały. W zadaniu wskazano zgodne obiegi; odejmowanie samych okresów 300 − 20 nie opisuje żadnej z tych względnych szybkości. Przyjmujemy model równomierny, potrzebny do użycia stałych średnich prędkości kątowych.

Powiązana teoria

Fazy Księżyca i miesiąc synodyczny — czego nie robi cień Ziemi?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny