Bilans cieplny. Jak obliczyć temperaturę mieszaniny?

Potrzebne wiadomości: Ciepło właściwe, równania liniowe i zasada zachowania energii.

Najpierw wybieramy układ

Załóżmy, że dwa ciała wymieniają energię tylko ze sobą. Nie zachodzi przemiana fazowa, reakcja chemiczna ani istotna praca mechaniczna. Po dostatecznie długim czasie osiągają wspólną temperaturę T. Jeżeli ciepła właściwe można uznać za stałe, bilans ma postać:

m_1c_1(T-T_1)+m_2c_2(T-T_2)=0.

Każdy wyraz opisuje energię otrzymaną przez dane ciało. Dla ciała chłodzącego się jest ujemny. Można również przyrównać dodatnią ilość energii oddanej do dodatniej ilości energii pobranej. Obie metody prowadzą do tego samego wyniku, jeżeli nie mieszamy konwencji znaków.

Wyprowadźmy średnią, zamiast ją zgadywać

Oznaczmy pojemności cieplne przez C₁ = m₁c₁ i C₂ = m₂c₂. Po rozwinięciu bilansu C₁(T − T₁) + C₂(T − T₂) = 0 otrzymujemy C₁T + C₂T = C₁T₁ + C₂T₂. Wyłączamy T przed nawias i dzielimy przez sumę dodatnich pojemności. To właśnie daje wzór średniej ważonej.

Wagi to C₁/(C₁ + C₂) oraz C₂/(C₁ + C₂). Sumują się do 1. Jeśli obie temperatury przesuniemy o 273,15, wynik też przesunie się dokładnie o 273,15. Dlatego tutaj obliczenie w °C jest poprawne, choć na przykład ilorazu temperatur w równaniu gazowym nie wolno tak liczyć.

Temperatura końcowa

Po uporządkowaniu równania otrzymujemy:

T=\frac{m_1c_1T_1+m_2c_2T_2}{m_1c_1+m_2c_2}.

Jest to średnia ważona pojemnościami cieplnymi. Dla tej samej substancji c się skraca. Średnia arytmetyczna jest poprawna dopiero wtedy, gdy obie pojemności cieplne są równe. W tym wzorze można użyć temperatur w °C, ponieważ opisujemy różnice temperatur, a wagi sumują się do jedności.

Kalorymetr też uczestniczy w wymianie

Jeżeli naczynie ma pojemność cieplną C_k i początkową temperaturę T_k, do bilansu dodajemy C_k(T − T_k). Nie jest to masa; nie mnożymy tej wielkości ponownie przez ciepło właściwe materiału.

W podanym modelu temperatura końcowa musi mieścić się między najniższą i najwyższą temperaturą początkową wszystkich uczestników wymiany. Wynik spoza tego przedziału oznacza błąd rachunkowy lub brakujący proces. Gdy w mieszaninie może pozostać lód, najpierw trzeba sprawdzić bilans topnienia — samo uśrednienie temperatur nie wystarczy.

Przykład

Do 0,20 kg wody o temperaturze 80°C dolewamy 0,60 kg wody o temperaturze 20°C. Pomijamy naczynie i straty. Temperatura końcowa wynosi (0,20 · 80 + 0,60 · 20)/0,80 = 35°C. Leży bliżej 20°C, ponieważ zimnej wody jest trzy razy więcej.

Przecięcie dwóch prostych

Dla 0,30 kg gorącej wody o 80°C i 0,70 kg chłodnej o 20°C pojemności wynoszą 1260 i 2940 J/K. Narysujmy dwie dodatnie energie: oddawaną 1260(80 − T) i pobieraną 2940(T − 20). Pierwsza maleje wraz z przyjmowaną temperaturą końcową, druga rośnie. Bilans jest spełniony w ich przecięciu.

Przy 38°C obie energie wynoszą 52 920 J. Przy zgadywanej średniej 50°C gorąca porcja oddałaby 37 800 J, a zimna wymagałaby 88 200 J. Brakowałoby 50 400 J. Wskazanie, skąd miałaby pochodzić ta energia, jest lepszą kontrolą niż samo porównanie wyniku z odpowiedzią.

Można szukać także nieznanego c

Próbka o masie 0,20 kg i temperaturze 60°C stygnie w idealnie izolowanym układzie z 0,10 kg wody o 20°C. Wspólna temperatura wynosi 25°C. Przy pomijalnej pojemności naczynia, braku reakcji i przemiany fazowej:

0{,}20c(60-25)=0{,}10\cdot4200(25-20),\qquad c=\frac{2100}{7}=300\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

To dane modelowe, nie wykonany pomiar. Gdyby próbka stygła w drodze do wody, faktyczna temperatura początkowa byłaby niższa. Użycie zbyt wysokiej temperatury wejściowej prowadziłoby wtedy do zbyt małego wyznaczonego c, jeśli pozostałe wielkości pozostają takie same.

Który bilans rzeczywiście rozwiązujemy?

Zanim skrócisz c, sprawdź, czy obie porcje są tą samą substancją. Zanim uznasz średnią za wystarczającą, sprawdź, czy uczestniczy naczynie, czy pozostaje lód i czy do układu nie dopływa energia z grzałki. Ciepła „utraconego” do otoczenia nie dodajemy bez znaku po dowolnej stronie: trzeba wskazać, kto je oddał i kto otrzymał. Procedurę rzeczywistego pomiaru z kontrolą strat znajdziesz w pracowni.

Projektujemy mieszaninę, zamiast zgadywać masy

Załóżmy, że mamy wodę w temperaturach 80°C i 20°C, a chcemy otrzymać 1 kg wody w 35°C. Pomijamy straty i naczynie. Nie szukamy już temperatury końcowej, lecz masy gorącej porcji. Zapiszmy jej masę jako x kilogramów; zimnej musi być 1 − x kilogramów. Warunek równości oddanego i pobranego ciepła daje:

xc(80-35)=(1-x)c(35-20).

Po skróceniu jednakowego c mamy 45x = 15 − 15x, stąd 60x = 15 i x = 0,25 kg. Potrzebujemy 0,25 kg gorącej oraz 0,75 kg zimnej wody. Sprawdzenie energetyczne: gorąca oddaje 0,25 · 4200 · 45 = 47 250 J; zimna pobiera 0,75 · 4200 · 15 = 47 250 J. Temperatura bliższa 20°C wymaga większego udziału zimnej wody.

Ogólnie, gdy obie porcje mają to samo c, stosunek mas wynosi:

\frac{m_h}{m_c}=\frac{T-T_c}{T_h-T}.

W liczniku i mianowniku są różnice temperatur, więc wynik jest bez jednostki. Jeżeli T zbliża się do temperatury zimnej porcji, licznik dąży do zera: gorącej wody potrzeba coraz mniej. Jeżeli T leży poza przedziałem od Tc do Th, jedna z mas wyszłaby ujemna. To sygnał niemożliwego celu w tym modelu, a nie masa do interpretowania dosłownie. Dla różnych substancji odpowiednią proporcję wyznaczają iloczyny mc; sam stosunek mas przestaje wystarczać.

Zadania do tego tematu

• Bilans cieplny — zadanie: dwie nierówne porcje wody
• Kalorymetria — zadanie: nie pomijamy naczynia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny