Woltomierz i amperomierz też zmieniają obwód

Potrzebne wiadomości: Prawo Ohma, dzielnik napięcia i połączenia oporników.

Pomiar też jest połączeniem obwodu

Woltomierz porównuje dwa punkty i jest do nich dołączany równolegle. Amperomierz ma mierzyć przepływ w gałęzi, więc staje się jej fragmentem szeregowym. Idealizacje są przeciwne: nieskończony opór woltomierza nie odprowadza prądu, zerowy opór amperomierza nie wywołuje dodatkowego spadku napięcia. Rzeczywiste przyrządy mają skończony opór wejściowy Rᵥ i niezerowy opór szeregowy Rₐ.

Wynik może się zmienić, nawet jeśli przyrząd doskonale pokazuje napięcie lub prąd już po jego przyłączeniu. Trzeba odróżnić dokładność wskazania od wpływu samego miernika na układ. To drugie zjawisko można policzyć zwykłymi prawami obwodów.

Woltomierz obciąża dzielnik

Dwa oporniki po 20 kΩ dzielą napięcie 6 V na połowy. Do dolnego dołączamy woltomierz 20 kΩ. Powstaje równoległe połączenie 20 kΩ ∥ 20 kΩ = 10 kΩ. Dolna część dzielnika nie ma już dawnego oporu, dlatego wskazanie wynosi 6 · 10/(20 + 10) = 2 V. Zmiana względem nieobciążonego 3 V wynosi −1 V, czyli −33,3%.

Porównajmy przyrząd o większym oporze 200 kΩ. Połączenie z dolnym 20 kΩ daje 200/11 kΩ, czyli około 18,18 kΩ. Napięcie wyniesie 20/7 V ≈ 2,857 V; względny spadek to około 4,76%. Większy opór woltomierza zmniejszył ingerencję, ale nie uczynił jej dokładnie zerową. Znaczenie ma stosunek oporu miernika do oporów badanego układu.

Amperomierz zwiększa opór gałęzi

Jeśli źródło U zasila opornik R, prąd przed pomiarem wynosi U/R. Po włączeniu amperomierza:

I_m=\frac{U}{R+R_a},\qquad \frac{I_0-I_m}{I_0}=\frac{R_a}{R+R_a}.

Ostatnią zależność uzyskujemy, odejmując 1 − R/(R + Rₐ). Dla R = 98 Ω i Rₐ = 2 Ω względny spadek to 2%, a nie 2/98 wyrażone w procentach. Prąd po zmianie porównujemy z początkowym prądem, nie ze wskazaniem po zmianie. Przy U = 5 V miernik pokaże 50 mA i odłoży się na nim 0,10 V.

Skąd wzory na rozszerzenie zakresu?

Ustrój analogowy osiąga pełne wychylenie przy Iₘ i ma opór Rₘ. Aby rozszerzyć zakres napięcia do U_z, potrzebny całkowity opór to U_z/Iₘ. Sam ustrój już wnosi Rₘ, więc dodatkowy opór szeregowy wynosi Rₛ = U_z/Iₘ − Rₘ. Dla 100 µA, 1 kΩ i zakresu 3 V potrzeba 29 kΩ; cały przyrząd ma 30 kΩ.

W zakresie prądowym większą część prądu omija się bocznikiem równoległym. Obie gałęzie mają to samo napięcie IₘRₘ, a bocznik przewodzi I_z − Iₘ. Stąd R_b = IₘRₘ/(I_z − Iₘ). Dla powyższego ustroju i zakresu 10 mA wynosi on około 10,10 Ω. Jest mały, ponieważ ma przejąć 9,9 mA, zostawiając w ustroju tylko 0,1 mA.

To obliczenia modeli przyrządów. Rzeczywisty pomiar wymaga także poprawnego zakresu i dopuszczalnych warunków pracy; obliczony opór nie opisuje całej konstrukcji ani zabezpieczeń miernika.

Warunek procentowy zamiast hasła „duży opór”

Dla dzielnika dwóch 20 kΩ można zapisać całe równanie węzła z dołączonym R_v: (6 V−V)/20 kΩ=V/20 kΩ+V/R_v. Po uporządkowaniu otrzymujemy V=3 V·R_v/(R_v+10 kΩ). Liczba 10 kΩ jest równoległym połączeniem obu oporów, czyli oporem widzianym od wyjścia po zastąpieniu idealnego źródła napięcia zwarciem.

Oznaczając tę wartość przez R_w, a napięcie bez miernika przez U₀, mamy:

\frac{U_0-U_m}{U_0}=\frac{R_w}{R_v+R_w}.

Jeśli sam wpływ obciążenia ma nie przekroczyć 1%, wymagamy R_v≥99R_w, czyli tutaj co najmniej 990 kΩ. Wtedy wskazanie wynosi 2,970 V wobec 3,000 V bez miernika. Nie jest to jeszcze warunek jednoprocentowej całkowitej niepewności pomiaru: kalibracja, rozdzielczość i niestabilność badanego obwodu mogą wnosić osobne składniki.

W tym samym modelu znany wpływ można odwrócić: U₀=U_m(1+R_w/R_v). Taka korekta wymaga znajomości oporu badanego układu, nie tylko liczby wyświetlonej przez miernik. Sam bardzo dokładny odczyt 2 V nie pozwala odtworzyć nieobciążonego napięcia dowolnego obwodu.

Zadania do tego tematu

• Woltomierz zmienia napięcie środka dzielnika
• Dwa omy amperomierza w obwodzie pięciowoltowym
• Bocznik idealizowanego ustroju pomiarowego
• Opornik szeregowy dla zakresu trzech woltów

Dalsza lektura

Materiał referencyjny