Łączenie oporników i rozpływ prądów

Potrzebne wiadomości: Prawo Ohma i rozpoznawanie węzłów na schemacie.

Zanim zaczniesz redukować obwód

Zaznacz węzły — punkty połączone idealnym przewodem mają ten sam potencjał, nawet gdy linia na rysunku jest długa lub pozaginana. Dwa oporniki są równoległe tylko wtedy, gdy ich oba końce należą do tej samej pary węzłów. W połączeniu szeregowym wspólny punkt nie może odprowadzać części prądu inną gałęzią. Dzięki temu można przerysować obwód, nie zmieniając połączeń, i zobaczyć jego prostszą postać.

Połączenie szeregowe

Dwa elementy są połączone szeregowo, gdy przez oba płynie ten sam prąd i między nimi nie ma rozgałęzienia. Napięcia na opornikach sumują się. Ponieważ U₁ = IR₁ i U₂ = IR₂, otrzymujemy:

R_s=R_1+R_2.

Większy opór ma większy spadek napięcia. Równość prądów nie oznacza równości napięć. Idealne przewody nie wprowadzają dodatkowego spadku napięcia.

Wyprowadzenie zamiast zapamiętanego ułamka

Dla dwóch gałęzi równoległych znamy wspólne napięcie U. Z prawa Ohma I₁ = U/R₁ i I₂ = U/R₂. Do węzła wpływa suma tych prądów. Opór zastępczy ma przy tym samym napięciu pobierać dokładnie taki sam prąd jak cały układ:

\frac{U}{R_z}=\frac{U}{R_1}+\frac{U}{R_2}.

Po podzieleniu przez niezerowe U otrzymujemy znaną zależność dla odwrotności oporów. Gdy napięcie wynosi zero, nie dzielimy przez zero; samą wartość R_z określamy z zachowania tego układu przy niezerowym napięciu. Dla trzech gałęzi dodajemy trzeci składnik 1/R₃, a nie próbujemy wciskać trzech oporów do wzoru iloczyn przez sumę.

Połączenie równoległe

Elementy równoległe są podłączone do tej samej pary węzłów, dlatego mają jednakowe napięcie. W węźle prąd dopływający jest równy sumie prądów odpływających — ładunek nie gromadzi się w nim w stanie ustalonym. Stąd:

\frac{1}{R_r}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2},\qquad R_r=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}.

Ostatni zapis dotyczy dokładnie dwóch oporników. Opór równoległy musi być mniejszy od najmniejszego oporu gałęzi. Jeśli tak nie jest, warto sprawdzić odwracanie ułamków.

Przykład obwodu mieszanego

Opornik 4 Ω połączono szeregowo z równoległą parą 6 Ω i 3 Ω. Para ma opór 2 Ω, a całość 6 Ω. Przy napięciu idealnego źródła 12 V prąd całkowity wynosi 2 A. Na oporniku 4 Ω spada 8 V, więc na każdej gałęzi równoległej pozostają 4 V. Prądy gałęzi wynoszą 2/3 A i 4/3 A; ich suma daje 2 A.

Od całości wracamy do gałęzi

Redukcja to dopiero połowa rozwiązania. Dla układu 3 Ω + (6 Ω ∥ 3 Ω) zasilanego z 10 V otrzymamy najpierw 5 Ω i 2 A. Aby wrócić do pierwotnego schematu, zaznaczamy spadek 6 V na pierwszym oporniku. Między węzłami rozgałęzienia zostaje 4 V. Dopiero to napięcie dzielimy przez opory gałęzi. Warto prowadzić rachunek w dwóch kierunkach: najpierw od drobnych części do obwodu zastępczego, potem od źródła z powrotem do części.

Mniejszy opór gałęzi przenosi większy prąd. Tutaj 3 Ω jest dwukrotnie mniejsze od 6 Ω, więc prąd tej gałęzi musi być dwukrotnie większy. Porównanie wyników jest dodatkową kontrolą, niezależną od ich sumy.

Co zmienia trzecia gałąź?

Do źródła 12 V podłączono równolegle dwa oporniki po 6 Ω. Każdy przewodzi 2 A, więc źródło dostarcza 4 A, a opór zastępczy wynosi 3 Ω. Dodajmy trzeci opornik 6 Ω równolegle. Przy idealnym źródle wcześniejsze prądy pozostają równe 2 A, bo napięcie gałęzi się nie zmieniło. Dochodzą kolejne 2 A: łącznie 6 A i opór zastępczy 2 Ω. Błędna intuicja mówi, że dotychczasowe 4 A trzeba teraz podzielić na trzy części. Źródło utrzymuje jednak napięcie, nie z góry narzucony prąd całkowity.

Co sprawdzamy na końcu?

Napięcia wzdłuż zamkniętego obiegu muszą zgadzać się z napięciem źródła, a prądy w każdym węźle muszą spełniać bilans ładunku. To proste zastosowania praw Kirchhoffa. Nie wolno przypisać pełnego napięcia źródła każdemu opornikowi tylko dlatego, że wszystkie należą do tego samego obwodu. Dla obwodów z mostkiem nie zawsze da się kolejno redukować same połączenia szeregowe i równoległe; wtedy trzeba zapisać równania węzłów i oczek.

Dzielnik nie jest idealnym źródłem napięcia

Źródło 12 V zasila szeregowo 2 kΩ oraz 4 kΩ. Na drugim oporniku chcemy uzyskać napięcie dla dodatkowego odbiornika. Bez tego odbiornika przez dzielnik płynie 2 mA, więc dolny opornik ma 8 V. Można to także zapisać jako U_wy = U R₂/(R₁ + R₂).

Dołączmy teraz odbiornik 4 kΩ między te same dwa węzły co dolny opornik. Para 4 kΩ ∥ 4 kΩ ma już tylko 2 kΩ. Łączny opór wynosi 4 kΩ, prąd źródła 3 mA, a napięcie wyjściowe 6 V. W dolnej części prąd dzieli się równo: po 1,5 mA przez każdy opornik.

Wyjściowe 8 V z pierwszego rachunku nie przetrwało obciążenia. Wzór na dzielnik nadal działa, lecz za R₂ trzeba teraz wstawić opór zastępczy dolnej pary, nie sam stary opornik. Napięcie idealnego źródła 12 V pozostało stałe; zmienił się podłączony do niego układ.

Sprawdźmy energię: przed zmianą źródło dostarczało 24 mW. Po zmianie dostarcza 36 mW; górny opornik wydziela 18 mW, dolny 9 mW, a nowy odbiornik również 9 mW. Suma jest poprawna, ale nowy odbiornik nie dostał całych dodatkowych 12 mW — przebudowa zmieniła też pracę pozostałych elementów.

Zadania do tego tematu

• Obwód mieszany — zadanie: opornik przed rozgałęzieniem
• Łączenie oporników — zadanie: ten sam zestaw, inny obwód

Dalsza lektura

Materiał referencyjny