Interwał i przyczynowość: co pozostaje wspólne dla różnych obserwatorów?

Potrzebne wiadomości: Transformacja Lorentza, czas własny, twierdzenie Pitagorasa i odczytywanie wykresów położenia. Do ostatniego przykładu wystarcza sumowanie odcinków ruchu jednostajnego.

Nie odejmujemy metrów od sekund

Przyjmujemy konwencję znaków:

\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2.

Wszystkie składniki mają jednostkę m². Zapis Δs² jest nazwą wielkości, która może być dodatnia, zerowa albo ujemna; nie jest kwadratem zwykłej dodatniej odległości przestrzennej. Niektóre podręczniki przyjmują przeciwny znak całego wyrażenia. Klasyfikacja zjawisk pozostaje wtedy taka sama, lecz trzeba konsekwentnie zmienić reguły znaków.

Dlaczego wynik nie zależy od układu? Dla ruchu układów wzdłuż x wstawiamy Δx′ = γ(Δx − βcΔt) i cΔt′ = γ(cΔt − βΔx). Przy odejmowaniu kwadratów człony mieszane znoszą się:

(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=\gamma^2(1-\beta^2)\big[(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2\big]=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2.

Współrzędne poprzeczne się nie zmieniają. To algebraiczna kontrola niezmienniczości, którą można powtórzyć na własnych liczbach.

Trzy rodzaje rozdzielenia zdarzeń

Interwał czasowy, Δs² > 0: odstęp czasu jest wystarczający, aby masywne ciało poruszające się wolniej niż światło mogło dotrzeć od pierwszego zdarzenia do drugiego. Istnieje układ, w którym oba mają to samo miejsce. Możliwość związku przyczynowego nie dowodzi, że taki związek faktycznie wystąpił.

Interwał zerowy, Δs² = 0: dla dwóch różnych zdarzeń potrzebna szybkość wynosi c. Może połączyć je światło w próżni, lecz nie istnieje inercjalny układ spoczynkowy fotonu. Zerowy interwał nie oznacza, że oba zdarzenia są tym samym punktem czasoprzestrzeni.

Interwał przestrzenny, Δs² < 0: żadna trajektoria o szybkości nieprzekraczającej c nie połączy zdarzeń. Istnieje układ, w którym są jednoczesne. Inne układy mogą odwracać ich kolejność czasową, ale nie odwracają przez to przyczyny i skutku przenoszonych fizycznym sygnałem.

Jak znaleźć szczególny układ?

Ustawmy oś x wzdłuż przestrzennego rozdzielenia dwóch zdarzeń. Dla interwału czasowego warunek Δx′ = 0 daje V = Δx/Δt. Jest to prędkość zegara, który porusza się jednostajnie między zdarzeniami. Jego czas własny wynosi:

\Delta\tau=\frac{\sqrt{\Delta s^2}}c=\sqrt{\Delta t^2-\frac{\Delta x^2}{c^2}}.

Dla rozdzielenia przestrzennego zamiast tego żądamy Δt′ = 0. Wtedy V = c²Δt/Δx i |V| < c. Odległość w takim układzie wynosi ℓ = √(−Δs²). To odległość między miejscami tej jednoczesnej pary zdarzeń; nie musi być długością jakiegoś materialnego pręta.

Jeżeli we wzorze na poszukiwane V otrzymasz |V| ≥ c, nie masz dopuszczalnego układu inercjalnego. Dla pary czasowej nie można uczynić zdarzeń jednoczesnymi, a dla pary przestrzennej nie można umieścić ich w tym samym miejscu.

Czas własny zależy również od drogi zegara

Pierwiastek z interwału między końcami daje czas zegara poruszającego się między nimi jednostajnie. Zegar zmieniający prędkość wymaga sumowania czasów krótszych odcinków:

\tau=\int_{t_A}^{t_B}\sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}\,dt.

Dla odcinków o stałej szybkości całka staje się sumą Δt/γ. Dwaj obserwatorzy mogą rozstać się i ponownie spotkać, a mimo wspólnych zdarzeń końcowych zebrać różne czasy własne. Nie wolno przypisać każdej trajektorii pierwiastka z interwału samych końców. W płaskiej czasoprzestrzeni między tymi samymi zdarzeniami czasowymi najwięcej czasu własnego upływa na prostoliniowej trajektorii inercjalnej.

Opis dotyczy szczególnej teorii względności: pomijamy grawitację. Przyspieszenie może zmienić trajektorię zegara; sam wzór na czas własny pozostaje użyteczny. Dla zegara idealnego nie dodajemy do niego osobnego „ubytku czasu za przyspieszenie”. W rzeczywistym urządzeniu trzeba osobno ocenić wpływ warunków mechanicznych na jego działanie.

Zadania do tego tematu

• Czy istnieje zegar, który przejdzie przez oba zdarzenia?
• Odwrócona kolejność zdarzeń bez odwrócenia przyczyny i skutku
• Dwa zegary spotykają się po dziesięciu sekundach

Dalsza lektura

Materiał referencyjny