Czteropęd i układ środka pędu: masa układu nie jest sumą mas cząstek

Potrzebne wiadomości: Energia spoczynkowa, relacja E² = p²c² + m²c⁴, pęd fotonu i transformacja Lorentza. Energia w MeV, a pęd w MeV/c.

Jedna masa, różne energie ruchu

Dla masywnej cząstki E = γ_umc² i p = γ_umu, gdzie u jest prędkością cząstki w rozważanym układzie. Masa m pozostaje niezmiennicza. Energia i pęd zależą od układu; nie trzeba tego opisywać przez „masę rosnącą z prędkością”. Czteropęd jest zapisem P = (E/c; p_x; p_y; p_z). Wszystkie cztery składowe mają jednostkę pędu.

Przy zmianie z S na układ S′ poruszający się z +V wzdłuż x:

E'=\gamma_V(E-Vp_x),\qquad p'_x=\gamma_V\left(p_x-\frac{VE}{c^2}\right),\qquad p'_y=p_y,\quad p'_z=p_z.

Współczynnik γ_V dotyczy prędkości układów, a nie pierwotnej prędkości cząstki. To częste źródło pomyłek. Jeżeli energie liczymy w MeV, wygodnie używać q = pc, które też ma jednostkę MeV. Wtedy E′ = γ_V(E − βq_x) i q′_x = γ_V(q_x − βE).

Przykład: energia maleje, masa pozostaje

Cząstka ma energię spoczynkową mc² = 6 MeV, całkowitą E = 10 MeV i porusza się wzdłuż +x. Z relacji energii i pędu q_x = √(10² − 6²) MeV = 8 MeV. Jej szybkość w S wynosi u/c = q_x/E = 0,80.

Przejdźmy do układu z V = 0,60c, więc γ_V = 1,25:

E'=1{,}25(10-0{,}60\cdot8)=6{,}50\,\mathrm{MeV},\qquad q'_x=1{,}25(8-0{,}60\cdot10)=2{,}50\,\mathrm{MeV}.

Kontrola daje 6,50² − 2,50² = 36 MeV² = (mc²)². Energia kinetyczna zmalała z 4 MeV do 0,50 MeV. W S′ u′/c = 2,50/6,50 = 5/13; nie odejmujemy samych liczb 0,80 − 0,60. Dopiero przy V = 0,80c cząstka spoczęłaby w nowym układzie i miałaby E′ = 6 MeV.

Sumujemy czteropędy, nie masy

Dla układu swobodnych cząstek sumujemy E_Σ = ΣEᵢ i wektor p_Σ = Σpᵢ. Masę niezmienniczą całego układu M definiuje:

M^2c^4=E_\Sigma^2-c^2|\vec p_\Sigma|^2.

Najpierw dodajemy wektory, a potem obliczamy kwadrat ich sumy. Suma kwadratów pędów zgubiłaby kąty i człony mieszane. M nie musi być sumą mas cząstek: obejmuje także energię ruchu w układzie, w którym całkowity pęd jest zerowy. Dla układu z istotnym oddziaływaniem należy uwzględnić również energię i pęd pól; samo zsumowanie dowolnie wybranych cząstek może nie opisywać izolowanej całości.

Jak znaleźć układ środka pędu?

Jeśli M > 0, można wybrać oś zgodną z całkowitym pędem i zażądać p′_Σ = 0. Z transformacji otrzymujemy:

\vec V_{\mathrm{SP}}=\frac{c^2\vec p_\Sigma}{E_\Sigma},\qquad E_{\mathrm{SP}}=Mc^2.

SP oznacza układ środka pędu. To nazwa odnosząca się do zerowej sumy pędów, dlatego działa również dla układu fotonów. Nie oznacza układu, w którym każda cząstka osobno spoczywa. Przeciwbieżne fotony nadal lecą z c, tylko ich pędy znoszą się.

Dla dwóch przeciwnych fotonów q_Σ = E₁ − E₂, a E_Σ = E₁ + E₂. Po rozwinięciu kwadratów:

M^2c^4=(E_1+E_2)^2-(E_1-E_2)^2=4E_1E_2.

Każdy foton ma masę zero, a para ma Mc² = 2√(E₁E₂) > 0. Jeżeli zamiast przeciwnie oba fotony biegną dokładnie w tę samą stronę, ich pędy dodają się do E_Σ/c i M = 0. Dla takiej pary nie ma układu środka pędu poruszającego się wolniej niż c. Samo istnienie kilku cząstek nie gwarantuje dodatniej masy układu.

Praktyczny sprawdzian jest prosty: policz M przed i po zmianie układu. Poszczególne energie mogą być inne, ale niezmiennik całej tej samej pary musi pozostać taki sam.

Zadania do tego tematu

• Zmiana układu dla cząstki o energii 13 MeV
• Nierówne energie przeciwbieżnych fotonów
• Dwa fotony pod kątem prostym: potrzebny jest wektor sumy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny