Tunelowanie przez prostokątną barierę: amplituda, prąd i zachowanie energii

Potrzebne wiadomości: Stacjonarne równanie Schrödingera, pochodne funkcji zespolonych, warunki brzegowe, funkcje wykładnicze i podstawowe funkcje hiperboliczne.

Model i jego zakres

Energia potencjalna wynosi V₀>0 w obszarze 0<x<d oraz zero po obu stronach. Cząstka ma wszędzie tę samą masę m, energia E spełnia 0<E<V₀, a potencjał jest rzeczywisty i niezależny od czasu. Pomijamy spin, relatywistykę, pochłanianie i oddziaływania z otoczeniem. Bariera ma wysokość energetyczną V₀ i szerokość d; nie jest to tunel wydrążony w materialnej ścianie.

Liczymy stacjonarne rozpraszanie fali padającej z lewej. Fale płaskie na nieskończonej osi nie są zwyczajnie normalizowalne. Opisują tu idealizowany strumień; dla długiego pakietu o wąskim rozkładzie energii wynik przybliża udziały odbitej i przechodzącej części. Dla szerokiego rozkładu trzeba uwzględnić zależność wyniku od energii.

Trzy obszary, cztery warunki

Poza barierą równanie daje oscylujące rozwiązania. Wewnątrz, gdzie E−V₀<0, daje funkcje wykładnicze. Definiujemy dodatnie liczby:

k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\qquad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}.

Obie mają jednostkę odwrotności długości. Pomijając wspólny czynnik exp(−iEt/ħ), zapisujemy:

\psi_{\mathrm L}=Ae^{ikx}+Be^{-ikx},\quad \psi_{\mathrm B}=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x},\quad \psi_{\mathrm R}=Fe^{ikx}.

A jest amplitudą padającą, B odbitą, F przechodzącą. Nie ma fali padającej z prawej. W skończonym obszarze bariery zachowujemy oba rozwiązania wykładnicze: człon rosnący nie rozbiega się na nieskończoności, bo obowiązuje tylko między 0 a d. Usunięcie go uniemożliwiłoby ogólnie dopasowanie obu granic.

Przy skończonym skoku potencjału i stałej masie ciągłe są ψ oraz ψ′. W x=0 dostajemy A+B=C+D i ik(A−B)=κ(C−D). W x=d otrzymujemy Ce^{\kappa d}+De^{-\kappa d}=F\exp(ikd) oraz \kappa(Ce^{\kappa d}-De^{-\kappa d})=ikF\exp(ikd). Wykładniki κd i kd są bezwymiarowe.

Dlaczego porównujemy prądy?

Prąd prawdopodobieństwa j określa przepływ prawdopodobieństwa przez punkt osi. Dla funkcji znormalizowanej w jednym wymiarze ma jednostkę s⁻¹. Zapisujemy:

j=\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\left(\psi^*\frac{d\psi}{dx}\right).

Fala Ae^{ikx} ma j=ħk|A|²/m, a Be^{−ikx} — prąd o przeciwnym znaku. Współczynnik przejścia T jest stosunkiem prądu przechodzącego do padającego; R porównuje wartość prądu odbitego z padającym. Tu k po obu stronach jest takie samo, więc T=|F/A|² i R=|B/A|². Dla innych potencjałów po lewej i prawej należałoby uwzględnić stosunek prędkości, a przy tej samej masie — kᴿ/kᴸ.

Rzeczywisty, stały w czasie potencjał nie pochłania prawdopodobieństwa. Stąd R+T=1. Sam nieruchomy wykres gęstości nie wymusza j=0: w stanie rozpraszania przez każdy przekrój może stale przepływać taki sam prąd.

Od dopasowania amplitud do wyniku

Wygodnie zacząć od prawej granicy. Funkcja wewnątrz bariery spełniająca tam oba warunki ma postać F\exp(ikd)[\cosh\kappa(x-d)+(ik/\kappa)\sinh\kappa(x-d)]. Funkcje hiperboliczne definiujemy przez cosh z=(eᶻ+e⁻ᶻ)/2 i sinh z=(eᶻ−e⁻ᶻ)/2.

Na lewym brzegu z A=[ψ(0)+ψ′(0)/(ik)]/2 dostajemy:

\frac{A}{F}=\exp(ikd)\left[\cosh(\kappa d)+i\frac{\kappa^2-k^2}{2k\kappa}\sinh(\kappa d)\right].

Moduł czynnika exp(ikd) wynosi jeden. Korzystając z cosh²z−sinh²z=1 i k²+κ²=2mV₀/ħ², otrzymujemy:

T=\left[1+\frac{V_0^2}{4E(V_0-E)}\sinh^2(\kappa d)\right]^{-1},\qquad R=1-T.

Wszystkie składniki nawiasu są bezwymiarowe. Ten wzór dotyczy 0<E<V₀; przy E=V₀ trzeba policzyć granicę albo osobno rozwiązać równanie. Dla E>V₀ rozwiązanie wewnątrz oscyluje, więc nie wstawiamy tam mechanicznie rzeczywistego κ.

Przykład i kontrola przybliżenia

Dla E=V₀/2 współczynnik przed sinh² wynosi jeden, zatem T=1/cosh²(κd). Przy κd=1 otrzymujemy T≈0,41997, a przy dwa razy szerszej barierze, κd=2, T≈0,07065. Wzrost szerokości mocno zmniejszył udział przejścia, chociaż energia się nie zmieniła.

Dla κd dużo większego od jedności można przyjąć sinh(κd)≈e^{κd}/2 i zaniedbać jedynkę w mianowniku. Wtedy T≈[16E(V₀−E)/V₀²]e^{−2κd}. Dla cienkiej bariery to przybliżenie może nawet przekroczyć jeden i trzeba je odrzucić. Dokładny wzór daje T→1 przy d→0 oraz T→0 przy d→∞ dla ustalonego 0<E<V₀.

Energia nie jest pożyczana

Potencjał nie zależy od czasu, a rozwiązanie ma jedną energię E. Po przejściu do obszaru V=0 cząstka ma tę samą energię co przed barierą. Pod barierą nie przypisujemy jej klasycznej rzeczywistej prędkości z ujemnej energii kinetycznej E−V₀. Właściwym obliczeniem jest dopasowanie funkcji falowej i prądów. Zasada nieoznaczoności nie stanowi pozwolenia na krótkotrwałe naruszenie zachowania energii w tym procesie.

Zadania do tego tematu

• Elektron przechodzi przez barierę bez utraty energii
• Kiedy przybliżenie wykładnicze jest wystarczające?
• Energia na wysokości bariery: usuwamy pozorną osobliwość

Dalsza lektura

Materiał referencyjny