Energia na wysokości bariery: usuwamy pozorną osobliwość

Rozwiązanie

Liczymy granicę całego wyrażenia

Nie podstawiamy zera osobno w czynnik 1/(V₀−E). Dla E zbliżającego się do V₀ mamy κ²=(V₀−E)/H i sinh²(κd)≈κ²d². Dlatego:

\frac{V_0^2}{4E(V_0-E)}\sinh^2(\kappa d)\longrightarrow\frac{V_0^2}{4E(V_0-E)}\frac{(V_0-E)d^2}{H}\longrightarrow\frac{V_0d^2}{4H}.

Różnica energii skróciła się przed przejściem do granicy. Ostatecznie:

T(E=V_0)=\left(1+\frac{V_0d^2}{4H}\right)^{-1}.

Wynik liczbowy

Iloraz V₀d²/(4H)=2,0·0,20²/(4·0,03810)≈0,52493. Stąd T≈0,65577 oraz R≈0,34423. Nadal występuje odbicie, mimo że energia osiągnęła wysokość bariery. To efekt dopasowania funkcji na granicach, którego nie opisuje klasyczna reguła przejścia ponad przeszkodą.

Równanie dokładnie na progu

Dla E=V₀ wewnątrz bariery ψ″=0, więc ψ=C+Dx. Należy dopasować tę funkcję i jej pochodną do oscylujących rozwiązań zewnętrznych. Daje to ten sam skończony wynik. Pozorna osobliwość była własnością nieuproszczonego zapisu, nie fizyczną rozbieżnością.

Dla d→0 otrzymany wzór zmierza do jedności. Dla ustalonego d>0 wynik jest mniejszy od jedności i dodatni. To dodatkowa kontrola; stwierdzenie T=1 tylko dlatego, że E=V₀, pominęłoby całe dopasowanie na obu brzegach.

Powiązana teoria

Tunelowanie przez prostokątną barierę: amplituda, prąd i zachowanie energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny