Kiedy przybliżenie wykładnicze jest wystarczające?

Rozwiązanie

Dokładna postać pokazuje opuszczony czynnik

Z definicji cosh z=(eᶻ+e⁻ᶻ)/2 otrzymujemy:

T=\frac{4e^{-2z}}{(1+e^{-2z})^2},\qquad \frac{T_a-T}{T}=(1+e^{-2z})^2-1=2e^{-2z}+e^{-4z}.

Przybliżenie zawsze zawyża wynik w tym szczególnym przypadku, a jego względny błąd maleje wraz z z.

Dwa porównania liczbowe

Dla z=1 dokładnie T≈0,41997, natomiast Tₐ≈0,54134. Względny błąd wynosi około 0,28899, czyli 28,90%. To zbyt duża różnica, jeśli oczekujemy kilku procent dokładności.

Dla z=3 otrzymujemy T≈0,0098660 oraz Tₐ≈0,0099150. Względny błąd to około 0,0049636, czyli 0,4964%. Wymóg dokładności do 1% jest już spełniony. Mała bezwzględna różnica nie wystarczałaby sama do oceny: porównaliśmy ją z małym współczynnikiem przejścia.

Granica cienkiej bariery

Dla z=0,10 przybliżenie daje Tₐ≈3,2749. Wynik większy od jedności jest niemożliwy jako współczynnik przejścia w tym modelu. Dokładnie T≈0,99007. Przy d→0 mamy z→0, T→1, ale Tₐ→4. Przybliżenie wyprowadzone dla dużego z nie ma prawa opisywać przeciwnej granicy.

Nie naprawiamy go przez sztuczne obcięcie wyniku do jedności. Wracamy do dokładnego wzoru albo wybieramy rozwinięcie odpowiednie dla małego z. Tak rozpoznajemy zmianę zakresu stosowalności, a nie błąd zachowania prawdopodobieństwa w teorii.

Powiązana teoria

Tunelowanie przez prostokątną barierę: amplituda, prąd i zachowanie energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny