Fale materii i pęd fotonu: jak porównać cząstki?

Potrzebne wiadomości: Pęd, energia kinetyczna i długość fali.

Pęd łączy opis cząstkowy z długością fali

Interferencja i dyfrakcja elektronów pokazują, że opis ich ruchu nie ogranicza się do klasycznych torów małych kulek. Dla stanu o określonym pędzie długość fali de Broglie’a wynosi λ = h/p. Ta relacja nie oznacza, że elektron staje się falą mechaniczną rozchodzącą w powietrzu; dotyczy kwantowego opisu stanu.

Najpierw ustal, co pozostaje stałe

Dla nierelatywistycznej cząstki p = mv, a z Eₖ = p²/(2m) wynika:

\lambda=\frac{h}{mv}=\frac{h}{\sqrt{2mE_k}}.

Przy stałej szybkości długość maleje odwrotnie do masy. Przy stałej energii kinetycznej maleje odwrotnie do pierwiastka z masy. To nie sprzeczność: są to dwa różne doświadczenia myślowe.

Weźmy cząstki o masach m i 4m. Jeśli mają tę samą szybkość, druga ma cztery razy większy pęd i cztery razy krótszą falę. Jeśli mają tę samą energię kinetyczną, druga porusza się dwa razy wolniej, ma dwa razy większy pęd i dwa razy krótszą falę. Założenie zapisane obok liczby jest równie ważne jak sama liczba.

Przykład: elektron po przyspieszeniu

Elektron uzyskujący nierelatywistycznie 150 eV ma energię około 2,403·10⁻¹⁷ J. Przy mₑ = 9,11·10⁻³¹ kg i h = 6,626·10⁻³⁴ J·s otrzymujemy p ≈ 6,62·10⁻²⁴ kg·m/s oraz λ ≈ 1,00·10⁻¹⁰ m, czyli 0,100 nm. Czterokrotnie większa energia, 600 eV, podwaja pęd i skraca falę do około 0,050 nm. Energie są małe wobec około 511 keV energii spoczynkowej elektronu, więc użyte przybliżenie jest tu uzasadnione.

Dyfrakcja wymaga odpowiedniej skali

Gdy długość fali jest porównywalna z odpowiednimi odstępami w uporządkowanej materii, fale rozproszone w różnych miejscach mogą wzmacniać się w wybranych kierunkach. Wzór h/p sam nie gwarantuje jednak widocznego obrazu dyfrakcyjnego: znaczenie mają przygotowanie wiązki, geometria i utrzymanie zgodności faz. Dla makroskopowej piłki długość przy zwykłym pędzie jest tak mała, że takie zjawisko nie staje się łatwym doświadczeniem tylko dlatego, że umiemy obliczyć λ.

Foton także przekazuje pęd

W próżni foton ma p = E/c = h/λ. Nie stosujemy do niego p = mv z masą spoczynkową. Wiązka mocy P przekazuje przy pełnym pochłanianiu pęd w tempie P/c; przy idealnym odbiciu wstecz od praktycznie nieruchomego lustra zmiana pędu jest dwukrotna i siła wynosi 2P/c. Dla 0,30 W są to 1 nN i 2 nN. Większy przekaz pędu przy odbiciu nie oznacza podwojenia energii światła. Podane przykłady są obliczeniami, nie instrukcją pracy z wiązką elektronową lub laserem.

Zadania do tego tematu

• Czterokrotnie większa energia elektronu i długość fali
• Dwie cząstki o tej samej szybkości i różnych masach
• Siła światła dla idealnego lustra

Dalsza lektura

Materiał referencyjny