Prawo Ampère’a: pole wewnątrz przewodnika i kabla koncentrycznego

Potrzebne wiadomości: Indukcja magnetyczna B, kierunek pola wokół przewodu, prąd i gęstość prądu; całka jako suma, pola koła i pierścienia.

Całka po linii, nie po powierzchni

W prawie Gaussa sumowaliśmy normalne składowe pola na powierzchni. Prawo Ampère’a dla prądów stałych dotyczy cyrkulacji, czyli całki stycznej składowej B po zamkniętej linii C:

\oint_C\vec B\cdot d\vec l=\mu_0I_{\mathrm{wew}}.

Wektor dl jest styczny do konturu i zgodny z wybranym obiegiem. I_wew jest algebraiczną sumą prądów przebijających powierzchnię rozpiętą na konturze. Dodatnią normalną wyznacza reguła prawej dłoni: zgięte palce wskazują obieg, kciuk dodatni zwrot prądu. Dzięki temu prądy powrotne otrzymują właściwy znak.

Używamy B w teslach, nie H w amperach na metr. Zakładamy materiał niemagnetyczny z μ ≈ μ₀ ≈ 4π·10⁻⁷ H/m. Obie strony mają jednostkę T·m. Ta postać prawa wymaga stanu magnetostatycznego. Dla zmieniających się pól, szczególnie przy ładowaniu kondensatora, potrzebny jest człon prądu przesunięcia.

Kiedy okrąg upraszcza całkę?

Dla bardzo długiego, prostego przewodnika o kołowym przekroju i osiowo symetrycznej gęstości prądu pole jest styczne do okręgów wokół osi i ma na każdym okręgu stałą wartość. Pracujemy daleko od końców oraz doprowadzeń. Obieg zgodny z polem daje:

B(r)\,2\pi r=\mu_0I_{\mathrm{wew}}(r).

Jeśli rozkład prądu jest niesymetryczny lub w pobliżu są inne źródła, samo narysowanie okręgu nie zapewnia stałego B. Prawo całkowe nadal obowiązuje, ale nie musi wyznaczać lokalnego pola jako μ₀I podzielonego przez obwód. Także zerowa cyrkulacja nie oznacza ogólnie zerowego B.

W pełnym przewodniku prąd objęty konturem rośnie jak r²

Przewodnik o promieniu a niesie całkowity prąd I z jednorodną gęstością J = I/(πa²). Dla r < a obejmujemy przekrój πr² i prąd I_wew = Ir²/a². Dzielenie przez obwód daje:

B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi a^2}r\quad(0\le r\lt a).

Pole rośnie od zera na osi. Na zewnątrz kontur obejmuje cały I i otrzymujemy B = μ₀I/(2πr). Wartości obu gałęzi przy r = a są zgodne. Osobliwość na osi we wzorze 1/r dotyczy idealizacji nieskończenie cienkiego przewodu, nie przewodnika o skończonym promieniu i równomiernym prądzie.

Prąd powrotny w kablu współosiowym

Rdzeń ma promień a. Niemagnetyczna, nieprzewodząca szczelina zajmuje a < r < b. Płaszcz przewodzący zajmuje b < r < c i niesie prąd −I. W obu przewodnikach gęstość prądu jest jednorodna. To model prądu stałego; przy dużych częstotliwościach rozkład zmienia między innymi efekt naskórkowy.

Dla r < a pozostaje wynik dla pełnego przewodnika. W szczelinie obejmujemy cały prąd rdzenia i żadnego powrotnego. W płaszczu trzeba objąć tylko pierścień od b do r. Jego część całego pola płaszcza wynosi (r² − b²)/(c² − b²):

I_{\mathrm{powrot}}(r)=-I\frac{r^2-b^2}{c^2-b^2}.

I_{\mathrm{wew}}(r)=I\frac{c^2-r^2}{c^2-b^2}\quad(b\lt r\lt c).

Na r = b prąd netto wynosi I; przy r = c spada do zera. Pole w płaszczu to:

B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\frac{c^2-r^2}{c^2-b^2}\quad(b\lt r\lt c).

Dla r > c obejmujemy I − I = 0. W tym osiowo symetrycznym modelu B jest stałe i styczne na okręgu, więc zerowa cyrkulacja wymusza B = 0. Po przesunięciu rdzenia względem osi płaszcza suma prądów nadal byłaby zerowa, lecz lokalne pole na zewnątrz mogłoby pozostać niezerowe. Końce i doprowadzenia również wykraczają poza idealizację.

Przykład w milimetrach i militeslach

Dla a = 1,0 mm, b = 3,0 mm, c = 4,0 mm i I = 5,0 A przy r = 0,50 mm obejmujemy 1,25 A i B = 0,500 mT. Na powierzchni rdzenia B = 1,00 mT, a w szczelinie przy r = 2,0 mm B = 0,500 mT. Te same wartości pola w dwóch punktach nie oznaczają tego samego zamkniętego prądu.

Przy r = 3,50 mm prąd netto to 5·(16 − 12,25)/(16 − 9) ≈ 2,679 A. W tym ilorazie można użyć zgodnych jednostek mm², które się skracają. W mianowniku μ₀I_wew/(2πr) potrzebujemy już r = 0,00350 m. Wynik wynosi około 0,153 mT. Przy r = 5,0 mm otrzymujemy zero w zadanym modelu.

Gdy gęstość prądu nie jest jednorodna

Pierścień o promieniu s i grubości ds wnosi J(s)2πs ds do prądu. Nie wolno zastąpić całego profilu jego wartością na brzegu:

I_{\mathrm{wew}}(r)=2\pi\int_0^r J(s)s\,ds.

Jeśli zachowana jest symetria osiowa, nadal dzielimy przez obwód tak samo. Liniowy wzrost B wewnątrz wynikał z jednorodnego J; nie jest konieczną cechą każdego przewodnika kołowego. W zadaniu z gęstością malejącą ku brzegowi maksimum pola pojawi się przed powierzchnią.

Zadania do tego tematu

• Prawo Ampère’a — zadanie: pole wewnątrz pełnego przewodnika
• Prawo Ampère’a — zadanie: prąd powrotny w płaszczu kabla
• Prawo Ampère’a — zadanie: maksimum pola przed powierzchnią przewodu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny