Wykres położenia z postojem i powrotem: narysuj także drogę

Potrzebne wiadomości: Położenie na osi, droga, czas i prędkość w ruchu jednostajnym.

Podpis osi jest częścią rozwiązania

Na osi poziomej odkładamy czas t w sekundach, na pionowej położenie x w metrach. Ujemne położenie jest dozwolone: oznacza punkt po drugiej stronie wybranego zera. Wykres x(t) nie jest rysunkiem toru w przestrzeni. Pochyła kreska na kartce może opisywać ruch po zupełnie poziomym torze.

W odcinku jednostajnym v_x=\Delta x/\Delta t. Poziomy odcinek x(t) oznacza postój, a bardziej stromy — większą wartość prędkości przy zachowaniu tych samych skal. Sam kąt kreski na wydruku nie jest wielkością fizyczną: rozciągnięcie osi zmienia jej wygląd, lecz nie iloraz liczb z jednostkami.

Jedna trasa, dwa różne wyniki

Rozważmy punkty (t,x): (0,1), (2,5), (4,5), (6,−1), połączone odcinkami. Prędkości wynoszą kolejno 2, 0 i −3 m/s. Przemieszczenie to −2 m. Droga wynosi s=|5-1|+|5-5|+|-1-5|=10\,\mathrm{m}. Wykres drogi przechodzi przez (0,0), (2,4), (4,4), (6,10): nigdy nie opada.

Przy gwałtownych załamaniach przyjmujemy idealizowane przejście między odcinkami. Nie wyznaczamy skończonego przyspieszenia dokładnie w takim punkcie. Średnia szybkość dla całej trasy to droga podzielona przez całkowity czas, łącznie z postojem; średnia prędkość ze znakiem korzysta z przemieszczenia.

Droga rośnie również wtedy, gdy współrzędna położenia maleje. Poziomy odcinek oznacza postój. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Tor w przestrzeni i wykres w czasie to dwa rysunki

Wykres x(t) odpowiada na pytanie, gdzie ciało znajdowało się w kolejnych chwilach. Nie pokazuje, czy droga była pod górę, czy w dół. Wznoszący odcinek oznacza rosnącą współrzędną względem wybranej osi. Poziomy odcinek oznacza niezmienne położenie, czyli postój, a nie ruch po poziomej ulicy. To rozróżnienie warto ustalić, zanim zaczniemy liczyć nachylenia.

Zmiana początku osi przesuwa wszystkie położenia o stałą, ale nie zmienia różnic między nimi. Zmiana zwrotu osi odwraca znaki położeń i prędkości, lecz nie zmienia długości przebytej drogi. Wykres drogi s(t) zaczynającej się od zera jest zawsze niemalejący: nie można „odprzebyć” drogi podczas powrotu. Może pozostać poziomy podczas postoju.

Przykład: trzy odcinki, trzy prędkości

Przez punkty(0,−2),(2,4),(5,4),(7,0) prowadzimy odcinki zgodnie z założeniem ruchu jednostajnego w każdym etapie. Najpierw Δx=6 m w 2 s, więc v=3 m/s. Potem przez 3 s położenie jest stałe. Na końcu Δx=−4 m w 2 s, więc v=−2 m/s. Nie dzielimy wszystkich zmian położenia przez cały czas 7 s, jeśli pytamy o poszczególne odcinki.

Droga narasta od 0 do 6 m, pozostaje 6 m podczas postoju i rośnie do 10 m podczas powrotu. Przemieszczenie jest tylko x_k−x_p=0−(−2)=+2 m. Końcowe położenie 0 m nie oznacza zerowego przemieszczenia, bo początek ruchu znajdował się przy −2 m. To częsta pomyłka wynikająca z utożsamienia początku osi z początkiem obserwowanego ruchu.

Przykład: średnia z postojem

W przebiegu(0,1),(2,5),(4,5),(6,−1) droga wynosi 4+0+6=10 m, przemieszczenie −2 m. Średnia szybkość całych 6 s to 10/6=5/3 m/s, średnia prędkość −2/6=−1/3 m/s. Pierwsza opisuje długość trasy na czas, druga zmianę położenia ze znakiem. Ich różne wartości nie są sprzeczne; odpowiadają różnym pytaniom.

Usunięcie 2 s postoju i policzenie 10/4=2,5 m/s daje średnią wyłącznie w wybranych okresach ruchu. Taki wynik może być użyteczny, ale nie odpowiada na pytanie o cały przebieg. Nie zmieniamy definicji czasu w mianowniku bez zaznaczenia. Również średnia arytmetyczna wartości prędkości odcinków działa tylko przy odpowiednich równych czasach i właściwym wyborze szybkości lub podpisanej prędkości.

Co oznacza załamanie?

Na styku odcinków idealny wykres ma ostre załamanie. Prędkość z lewej i prawej strony może być różna, więc nie przypisujemy temu pojedynczemu punktowi średniej obu jako „dokładnej chwilowej prędkości”. Rzeczywiste przejście jest wygładzone w pewnym czasie. Nasz model opisuje odcinki, ale nie pełne siły podczas nagłego startu, postoju i nawrotu.

Sprawdź się: przesuwamy współrzędną o−5 m. Przykładowe punkty stają się(0,−4),(2,0),(4,0),(6,−6). Prędkości 2,0,−3 m/s i droga 10 m pozostają bez zmian. Gdyby z przesunięcia zera wynikła dodatkowa droga 5 m, pomylilibyśmy zmianę opisu z rzeczywistym ruchem.

Zadania do tego tematu

• Zbuduj trzy wykresy z czterech odczytów położenia
• Średnia szybkość z rysunku uwzględniającego przerwę
• Ten sam ruch po zmianie zera położenia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny