W przyspieszającym wagonie: po co wprowadzamy siłę bezwładności?

Potrzebne wiadomości: Druga zasada dynamiki, wektory i ruch względem wybranego obserwatora.

Porównujemy dwa układy

Niech układ wagonu porusza się postępowo z przyspieszeniem A względem układu inercjalnego, bez obracania osi. Przyspieszenie ciała względem wagonu spełnia \vec a\,\prime=\vec a-\vec A. Ponieważ w układzie inercjalnym m\vec a=\sum\vec F, po przekształceniu mamy m\vec a\,\prime=\sum\vec F-m\vec A.

Wielkość \vec F_b=-m\vec A nazywamy siłą bezwładności. Występuje w opisie przyspieszającego obserwatora; nie jest dodatkowym oddziaływaniem z innym ciałem. Dlatego nie szukamy dla niej pary sił z trzeciej zasady Newtona.

Przykład z ciężarkiem na nitce

Wagon przyspiesza poziomo w prawo. Ciężarek nieruchomy względem wagonu odchyla nitkę w lewo od pionu. W opisie wagonu równoważą się napięcie nitki, ciężar i siła bezwładności. Dla kąta α od pionu mamy T\sin\alpha=mA, T\cos\alpha=mg, stąd \tan\alpha=A/g. Dla A=2 m/s² i g=10 m/s² kąt wynosi około 11,3°.

Z peronu nie dodajemy siły bezwładności: pozioma składowa napięcia właśnie nadaje ciężarkowi przyspieszenie A. Wynik jest ten sam.

Kiedy ten zapis trzeba rozszerzyć?

Podane równanie dotyczy osi nieobracających się. W obracającym się układzie dochodzą m.in. siła odśrodkowa i, dla ruchu względem tego układu, siła Coriolisa. Nie podstawiamy ich do zadania o prostoliniowo przyspieszającym wagonie bez powodu.

Dwa układy współrzędnych opisują ten sam ruch. Siłę bezwładności dodajemy tylko w przyspieszającym układzie. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Obserwator też może przyspieszać

Podczas ruszania autobusu luźny plecak przesuwa się względem podłogi do tyłu. Obserwator na chodniku widzi inną historię: plecak usiłuje zachować dotychczasową poziomą prędkość, a autobus przyspiesza pod nim. Te dwa opisy nie są sprzeczne. Dotyczą tego samego ruchu mierzonego od dwóch różnych, poruszających się względem siebie początków układu współrzędnych.

Ograniczmy się do osi równoległych, które nie obracają się. Jeśli położenie początku wagonu względem ziemi oznaczymy X(t), a położenie ciała x(t), to współrzędna w wagonie wynosi x′=x−X. Różniczkując raz, dostajemy v′=v−V, drugi raz a′=a−A. To kinematyczne źródło dodatkowego składnika w równaniu ruchu. Nie trzeba zakładać istnienia nowego obiektu, który pcha plecak wstecz.

Wybierz jeden opis i trzymaj się go

W układzie inercjalnym piszemy ma=ΣF, uwzględniając rzeczywiste oddziaływania. W wagonie zapis ma′=ΣF−mA zawiera dodatkową siłę bezwładności. Błąd polega na dodaniu −mA, a następnie pozostawieniu po lewej przyspieszenia a mierzonego z ziemi. Wówczas uwzględnilibyśmy zmianę układu dwa razy. Apostrof przy a jest tu ważniejszy niż samo słowo „bezwładność”.

Rzeczywista siła ma źródło w oddziaływaniu: podłoga naciska klocek, Ziemia go przyciąga, nitka ciągnie. Siła bezwładności wynika z wybranego opisu. Nie tworzy pary akcji i reakcji z siłą na innym ciele. Nie oznacza to, że odczucia pasażera są wyobrażone; rzeczywiste napięcia mięśni i naciski oparcia można zmierzyć. Trzeba tylko poprawnie nazwać siły na diagramie.

Przykład: klocek na idealnie gładkiej podłodze

Niech wagon rusza z A=2 m/s², a klocek wcześniej spoczywał względem wagonu. Z ziemi jego poziome przyspieszenie jest zerowe. Wagon po 3 s wyprzedzi jego położenie o A t²/2=9 m, a jego prędkość o At=6 m/s. W wagonie zapisujemy a′=−2 m/s², więc x′−x′₀=−9 m i v′=−6 m/s. Oba opisy zgadzają się liczbowo i co do zwrotu.

Warunek braku uderzenia w ścianę jest istotny. Po kontakcie zaczyna działać dodatkowa pozioma siła i dotychczasowe równania przestają opisywać dalszy ruch. Również tarcie zmieniłoby odpowiedź. Gdyby tarcie statyczne potrafiło nadać klockowi przyspieszenie A, klocek pozostałby nieruchomy względem wagonu, a wymagane tarcie miałoby wartość mA, nie zero.

Kontrast: waga w windzie

Osoba o masie 60 kg w windzie przyspieszającej ku górze z 2 m/s² wymaga wypadkowej siły 120 N w górę. Przy g=10 m/s² podłoże musi więc naciskać ją siłą 600+120=720 N. W układzie windy osoba spoczywa, lecz oprócz ciężaru uwzględniamy skierowane w dół 120 N siły bezwładności. Równowaga daje ten sam nacisk.

Przy przyspieszeniu windy w dół o wartości 2 m/s² nacisk wynosiłby 480 N. Nie zależy on bezpośrednio od tego, czy winda jedzie w górę, czy w dół: jadąc w górę i hamując, ma przyspieszenie w dół. W swobodnym spadku A skierowane w dół ma wartość g, więc nacisk znika. Masa osoby nie znika razem ze wskazaniem wagi.

Sprawdź się

Wagon porusza się ze stałą prędkością po prostej. Czy potrzebujemy siły bezwładności −mA? Nie, bo A=0. Wagon skręca przy stałej szybkości: czy przyspieszenie też jest zerowe? Nie, zmienia się kierunek prędkości. Taki problem wymaga ostrożniejszego opisu osi, zwłaszcza jeśli obracają się razem z wagonem. Powyższy prosty model dotyczy ruchu postępowego bez obrotu osi.

Zadania do tego tematu

• Swobodny klocek na podłodze przyspieszającego wagonu
• Waga w windzie: ten sam wynik z dwóch układów odniesienia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny