Rzuty: rekonstrukcja ruchu z danych i sprawdzanie modelu

Potrzebne wiadomości: Rzut poziomy i ukośny, składowe prędkości, wykres oraz równanie kwadratowe.

Osie, zegar i jednostki

W jednorodnym polu grawitacyjnym bez oporu wybierz x poziomo, y w górę i początek czasu w chwili wyrzutu. Wtedy x=x₀+v₀ₓt oraz y=y₀+v₀ᵧt−gt²/2. Na wykresie x(t) nachylenie jest stałe. Na y(t) nachylenie maleje, a w najwyższym punkcie wynosi zero. Nie oznacza to zerowej całkowitej prędkości: pozioma składowa może pozostać niezerowa.

Jedna tabela, dwie niezależne kontrole

Dla t=0;0,5;1 s położenia x=0;3;6 m dają równe przyrosty w równych czasach: vₓ=6 m/s. Równocześnie wartości y=5;3,75;0 m spełniają y=5−5 t². Wniosek o rzucie poziomym wymaga obu sprawdzeń, nie tylko dopasowania krzywej do wysokości.

W chwili lądowania vᵧ=−gt=−10 m/s. Szybkość jest długością wektora (6,−10), czyli √136≈11,66 m/s. Ujemna składowa pionowa określa kierunek, a nie ujemną szybkość. Wierzchołek czy punkt przecięcia osi nie unieważnia działania przyspieszenia.

Zadanie odwrotne

W rzucie poziomym v₀ᵧ=0. Z pary położeń poziomych i odstępu czasu otrzymujemy v₀ₓ. Poziomy czas przelotu musi być ten sam co czas spadku. Dla startu 5 m nad ziemią, g=10 m/s² i poziomej szybkości 6 m/s lot do ziemi trwa 1 s i kończy się 6 m dalej. Nie sumujemy czasu ruchu poziomego z czasem pionowego: oba ruchy zachodzą równocześnie.

W rzucie ukośnym z podwyższenia równanie y(t)=0 może dać dwa pierwiastki. Wybieramy rozwiązanie odpowiadające przyszłemu kontaktowi z podłożem. Wzór na zasięg przy jednakowej wysokości startu i lądowania nie pasuje automatycznie do innego poziomu końcowego.

Dodatkowy punkt testuje przewidywanie

Po dopasowaniu z pierwszych danych przewidujemy dla t=0,75 s: x=4,50 m i y=2,1875 m. Dopiero potem porównujemy z kolejnym odczytem. Gdyby wynik y wyniósł 2,30 m przy małej niepewności, reszta 0,1125 m byłaby powodem do sprawdzenia modelu i kalibracji, nie do ukrytego poprawienia punktu.

Jeśli skala znajduje się za płaszczyzną ruchu, perspektywa może inaczej przeliczać jej odległości i tor przedmiotu. Jeśli zegar ma zły współczynnik klatek na sekundę, błędna będzie prędkość, a błąd przyspieszenia zależnego od t² będzie jeszcze silniejszy. Równa liczba pikseli nie jest sama w sobie równą liczbą metrów.

Kontrola danych

Każdy dodatkowy punkt pomiarowy służy kontroli modelu, a nie tylko lepszemu dopasowaniu liczby. Błąd perspektywy, zła skala czasu i opór powietrza mogą dawać systematyczne reszty. Wyznaczenie przyspieszenia w dół z danych nie dowodzi jeszcze, że kamera była poprawnie ustawiona. Poniższe zbiory są danymi modelowymi, nie wykonanym pomiarem. Nie trzeba rzucać przedmiotów z wysokości, aby je przeanalizować.

Pierwiastki równania i sens czasu

Równanie y=1+3 t−5 t²=0 ma rozwiązania (3±√29)/10. Ujemny czas opisuje przedłużenie wzoru przed przyjętą chwilę startu, a nie drugi przyszły upadek. Dodatni czas wybieramy ze względu na treść zadania, nie dlatego, że wszystkie ujemne liczby w fizyce są zakazane.

W sprawozdaniu podaj definicje osi, chwilę t=0 i poziom y=0. Bez tego ktoś inny nie odtworzy znaków składowych ani znaczenia wybranego pierwiastka. Dane poniżej są modelowe; do ich analizy nie trzeba wykonywać rzutu z wysokości.

Zadania do tego tematu

• Rzut poziomy odtworzony z trzech modelowych klatek
• Lądowanie poniżej miejsca wyrzutu
• Prędkość w wierzchołku toru ukośnego

Dalsza lektura

Materiał referencyjny