Obciążenie i kaskada RC: dlaczego dwa filtry zmieniają się po połączeniu

Potrzebne wiadomości: Dzielnik impedancyjny, prawo węzłów, zespolony opis sinusoidalnego stanu ustalonego oraz częstotliwość graniczna pojedynczego filtru RC.

Nieobciążone wyjście było ważnym założeniem

W pojedynczym filtrze dolnoprzepustowym opornik R łączy idealne źródło z węzłem wyjścia, a kondensator C łączy ten węzeł ze wspólnym powrotem. Jeśli dodamy obciążenie R_L równolegle do C, prąd opornika rozdziela się na dwie gałęzie. Nie jest już równy prądowi kondensatora. Dlatego wzór H = 1/(1 + jωRC) wymaga poprawienia.

Rozpatrujemy dodatnie R, C i R_L, idealne elementy skupione oraz sinusoidalny stan ustalony. Nie opisujemy tu błędów przyrządu pomiarowego. Interesuje nas to, jak samo przekazywanie sygnału do następnego obwodu zmienia jego amplitudę i fazę.

Wyprowadzamy odpowiedź z prawa węzłów

Oznaczmy napięcie wyjściowe U̲. Prąd dopływający przez R musi równać się sumie prądów w C i R_L:

\frac{\underline U_{we}-\underline U}{R}=j\omega C\underline U+\frac{\underline U}{R_L}.

Mnożymy przez R i zbieramy wyrazy z U̲ po jednej stronie. Następnie wyłączamy stały czynnik 1 + R/R_L:

H=\frac{1}{1+R/R_L+j\omega RC}=\frac{K_0}{1+j\omega R_zC},\quad K_0=\frac{R_L}{R+R_L},\quad R_z=\frac{RR_L}{R+R_L}.

R_z to równoległy opór R i R_L. Poziom niskoczęstotliwościowy K₀ jest mniejszy od jeden: nawet bardzo powolna sinusoida zostaje osłabiona przez dzielnik rezystancyjny. Z kolei mniejszy R_z daje większą częstotliwość graniczną 1/(2πR_zC).

Względem jakiego poziomu liczymy minus trzy decybele?

Dla obciążonego filtru punkt graniczny oznacza k = K₀/√2, czyli spadek o około 3,0103 dB względem jego własnego pasma przepustowego. Nie musi oznaczać k = 1/√2 względem źródła. Jeśli K₀ = 1/2, poziom pasma jest już równy około −6,0206 dB, a w punkcie granicznym otrzymujemy około −9,0309 dB względem wejścia.

Przykładowo R = R_L = 10 kΩ i C = 10 nF dają K₀ = 1/2 oraz R_z = 5 kΩ. Częstotliwość graniczna rośnie z około 1591,55 Hz w układzie nieobciążonym do 3183,10 Hz po dołączeniu obciążenia. Nie oznacza to lepszego przenoszenia napięcia w całym paśmie: poziom niskich częstotliwości spadł o połowę.

Jeżeli samo źródło ma stały opór szeregowy R_s, a napięcie wejścia oznacza napięcie jego idealnej części, w powyższym rachunku zastępujemy R sumą R + R_s. Jeśli wejście mierzymy już za oporem źródła, jest to inna definicja transmitancji. Zanim użyjemy wzoru, trzeba wskazać dwa zaciski wejścia.

Drugi filtr jest obciążeniem zależnym od częstotliwości

Połączmy dwa stopnie: R₁ prowadzi od źródła do węzła U̲₁, z którego C₁ biegnie do powrotu. R₂ łączy U̲₁ z U̲₂, a C₂ łączy U̲₂ z powrotem. Wyjście U̲₂ nie ma dodatkowego obciążenia. Drugi stopień odprowadza prąd z pierwszego, dlatego nie mnożymy bez sprawdzenia dwóch odpowiedzi wyprowadzonych dla nieobciążonych wyjść.

Prawo węzłów na końcu układu daje U̲₁ = (1 + jωR₂C₂)U̲₂. W pierwszym węźle zapisujemy prąd kondensatora C₁ oraz prąd płynący dalej:

\frac{\underline U_{we}-\underline U_1}{R_1}=j\omega C_1\underline U_1+\frac{\underline U_1-\underline U_2}{R_2}.

Podstawienie poprzedniej zależności i uporządkowanie wyrazów prowadzi do:

H_{bez}=\frac{1}{1+j\omega(R_1C_1+R_1C_2+R_2C_2)+(j\omega)^2R_1R_2C_1C_2}.

Dodatkowy składnik R₁C₂ wynika z obciążenia pierwszego stopnia drugim. Dla dwóch jednakowych par R i C, przy x = ωRC, wzór upraszcza się do:

H_{bez}=\frac{1}{1-x^2+j3x}.

Co zmienia idealny bufor?

Idealny bufor ma nieskończoną impedancję wejścia, zerową impedancję wyjścia i przenosi napięcie z mnożnikiem 1 bez dodatkowej fazy. Pierwszy stopień nie oddaje do niego prądu, a drugi jest napędzany jak przez idealne źródło. Dopiero przy tych założeniach odpowiedzi niezależnych stopni można pomnożyć:

H_{buf}=\frac{1}{(1+jx)^2}=\frac{1}{1-x^2+j2x}.

Bufor pobiera energię z własnego zasilania; jego idealizacja nie jest biernym elementem bez kosztu energetycznego. Rzeczywisty układ ma ograniczenia pasma, obciążenia i amplitudy. Tutaj stanowi dobrze określony model porównawczy, a nie instrukcję doboru konkretnego wzmacniacza.

Dwie sekcje nie zachowują częstotliwości granicznej jednej sekcji

Przy x = 1 układ bez bufora ma H = 1/(j3), więc k = 1/3. Z buforem H = 1/(j2), więc k = 1/2. Żaden z tych punktów nie jest punktem k = 1/√2 całego dwustopniowego układu. Granicę całego filtru trzeba znaleźć z jego własnej odpowiedzi, względem własnego poziomu niskoczęstotliwościowego.

Można osłabić wzajemne obciążanie bez bufora, zwiększając R₂ i zmniejszając C₂ przy zachowaniu ich iloczynu. Gdy R₂ = mR₁ oraz C₂ = C₁/m, oba stopnie mają tę samą nominalną stałą czasową, ale mianownik całej odpowiedzi zawiera jx(2 + 1/m). Przy x = 1 stosunek amplitud wynosi 1/(2 + 1/m).

Dla m = 10 otrzymujemy około 0,47619 zamiast 0,5: błąd względem buforowanego wyniku to około 4,76%. Zwiększenie impedancji drugiego stopnia zmniejszyło obciążenie, lecz nie usunęło go dokładnie. Ocena dokładności wymaga podania częstotliwości lub całego pasma, a w rzeczywistym układzie również właściwości źródła i odbiornika.

Zadania do tego tematu

• Trzy decybele poniżej pasma obciążonego filtru
• Dwa jednakowe stopnie RC z buforem i bez niego
• Ile trzeba zwiększyć opór drugiego stopnia, aby ograniczyć obciążenie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny