Lepkość — zadanie: obie płytki poruszają się w tę samą stronę
Między szerokimi płytkami jest ciecz Newtonowska o η = 0,10 Pa·s. Pole każdej powierzchni styku wynosi A = 0,030 m², a odstęp h = 2,0 mm. Dolna płytka porusza się w prawo z prędkością U₀ = 0,030 m/s, górna z U₁ = 0,070 m/s. Przyjmij ustalony przepływ laminarny, równoległy do płytek, bez poślizgu i bez gradientu ciśnienia.
a) Znajdź prędkość w połowie szczeliny oraz wartość siły lepkości na każdej płytce. b) Obie prędkości zwiększono o 0,050 m/s. Co stanie się z profilem, naprężeniem i siłami? c) Policz łączną moc obu napędów przekazywaną cieczy w pierwszym stanie, uwzględniając znaki pracy.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Warunki brzegowe to teraz u(0) = U₀ i u(h) = U₁. Gradient zależy od U₁ − U₀. Ciecz hamuje szybszą płytkę i przyspiesza wolniejszą, więc napędy nie wykonują pracy tego samego znaku.
Rozwiązanie
1. Profil zaczyna się od niezerowej wartości
Prosta łącząca warunki brzegowe ma postać:
u(y)=U_0+(U_1-U_0)\frac{y}{h}.
W połowie szczeliny u(h/2) = (0,030 + 0,070)/2 = 0,050 m/s. Nie można przyjąć U₁/2, ponieważ dolna płytka nie spoczywa.
2. Liczy się różnica prędkości
Różnica wynosi 0,040 m/s, a odstęp 0,0020 m. Otrzymujemy:
\dot\gamma=\frac{0{,}040}{0{,}0020}=20\ \mathrm{s^{-1}},\quad \tau=2{,}0\ \mathrm{Pa},\quad F=0{,}060\ \mathrm N.
Ciecz działa na górną płytkę w lewo, a na dolną w prawo. Siły mają jednakowe wartości, bo przy stałym naprężeniu pola są jednakowe. Aby zachować ustalone prędkości, napęd górnej płytki działa w prawo, a układ sterujący dolną musi działać w lewo.
3. Przesunięcie całego profilu
Po dodaniu 0,050 m/s nowe prędkości brzegowe wynoszą 0,080 i 0,120 m/s, a w środku 0,100 m/s. Różnica pozostaje równa 0,040 m/s. Nachylenie, naprężenie i wartości sił się nie zmieniają. Model lepkości nie może zależeć od wyboru układu odniesienia poruszającego się ze stałą prędkością.
4. Dwa napędy, dwa znaki pracy
W pierwszym stanie napęd górnej płytki dostarcza 0,060·0,070 = 0,0042 W. Na dolnej płytce zewnętrzna siła jest przeciwna do prędkości, więc moc przekazana przez ten napęd wynosi −0,060·0,030 = −0,0018 W. Układ sterujący dolną odbiera energię.
P_{\mathrm{razem}}=F(U_1-U_0)=0{,}060\cdot0{,}040=0{,}0024\ \mathrm W.
W cieczy rozpraszane są 2,4 mW. Dodanie wartości bezwzględnych mocy dałoby 6,0 mW i naruszyłoby bilans pracy. Po wspólnym zwiększeniu obu prędkości łączna moc pozostaje taka sama, choć moce poszczególnych napędów się zmieniają.
Powiązana teoria
Lepkość Newtonowska: siła zależy od gradientu prędkości
Dalsza lektura
Liczy się różnica prędkości
Najpierw przewiduj: Dodaj tę samą prędkość obu płytkom. Czy zmienią się naprężenie i moc rozpraszana na jednostkę powierzchni?
η = 0,1 Pa·s, h = 0,001 m, U₂ − U₁ = 0,5 m/s: gradient wynosi 500 s⁻¹, naprężenie 50 Pa, a moc rozpraszana na jednostkę powierzchni 25 W/m².
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Dla cieczy Newtonowskiej między równoległymi płytkami u(y)=U_1+(U_2-U_1)\frac yh,\quad\tau=\eta\frac{U_2-U_1}{h}. Znak τ opisuje kierunek naprężenia przenoszącego ruch szybszej warstwy na wolniejszą; siła oporu na płytkę ma przeciwny zwrot do jej ruchu względem drugiej płytki.
Moc rozpraszana na jednostkę powierzchni wynosi η(U₂ − U₁)²/h i jest nieujemna. Stały ruch obu płytek z taką samą prędkością nie ścina cieczy. Model zakłada warunki ustalone, brak gradientu ciśnienia, stałą lepkość, brak poślizgu przy ściankach oraz pomijalne efekty brzegowe. Nie opisuje dowolnej gęstej cieczy nienewtonowskiej.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto