Profil fali a przebieg drgań: metrów nie zamieniamy na sekundy

Potrzebne wiadomości: Amplituda, okres, długość fali i częstotliwość.

Szkoła podstawowa: przesunięcie grzbietu

Fala przenosi zaburzenie. Na poprzecznie drgającej linie poszczególne fragmenty mogą poruszać się w górę i w dół, a grzbiet fali przemieszczać się wzdłuż liny. Zdjęcie fali pokazuje położenia wielu fragmentów w jednej chwili; kolejne zdjęcie pozwala sprawdzić, dokąd dotarł ten sam grzbiet.

Wybierz oś poziomą i zaznacz jej zwrot oraz jednostkę metra. Jeśli rozpoznany grzbiet przesuwa się z 0,2 m do 0,8 m w ciągu 0,3 s, narysuj strzałkę ku rosnącym położeniom. Przebywa on 0,6 m, więc szybkość zaburzenia wynosi 0,6 m / 0,3 s = 2 m/s. Nie oznacza to przesunięcia każdego fragmentu liny o 0,6 m. W dalszym materiale porównujemy również profile z zapisami czasu; wzory sinusoidalne są rozszerzeniem dla szkoły średniej.

Przestrzeń i czas oglądamy oddzielnie

Na profilu y(x) oś pozioma oznacza położenie. Odległość kolejnych grzbietów jest długością fali λ. Na przebiegu y(t) oś pozioma oznacza czas, a odstęp kolejnych maksimów jest okresem T. Pionowo można w obu rysunkach odkładać to samo wychylenie. Amplituda A jest odległością od równowagi do maksimum, nie pełną wysokością od minimum do maksimum.

Dwa wykresy wystarczają do wartości szybkości, nie zawsze do zwrotu

W przykładzie f=1/T=2\,\mathrm{Hz}, a v_f=\lambda/T=8\,\mathrm{m/s}. Jest to szybkość rozchodzenia fali. Nie jest największą prędkością drgającego elementu ośrodka. Sam profil i okres, bez zgodnie określonej fazy i miejsca czujnika albo drugiego zdjęcia, nie ustalają zwrotu propagacji.

Dla drgania y=A\cos(\omega t) mamy v_y=-A\omega\sin(\omega t) i a_y=-\omega^2y. W maksimum wychylenia prędkość drgań jest zerowa, a przyspieszenie skierowane ku równowadze. W przejściu przez zero wychylenia jest odwrotnie: przyspieszenie znika, wartość prędkości jest największa. Zgodność kształtu dwóch kresek nie uprawnia do pominięcia przesunięcia faz.

Wykres wychylenia i faza ruchu punktu ośrodka nie są profilem propagującej fali w przestrzeni. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Zdjęcie i zapis czujnika odpowiadają na inne pytania

Zdjęcie liny zatrzymuje jedną chwilę i pokazuje wiele położeń x. Czujnik umieszczony w jednym punkcie zatrzymuje położenie i zapisuje wiele chwil t. Oba rysunki mogą wyglądać sinusoidalnie i mieć to samo wychylenie na osi pionowej, lecz oś pozioma opisuje inną wielkość. Nie wolno odczytać metrów z profilu i nazwać ich sekundami okresu tylko dlatego, że odległość między grzbietami ma podobny wygląd.

Amplituda jest maksymalnym wychyleniem od równowagi. Jeśli grzbiet ma +2 cm, a dolina −2 cm, pełna różnica wynosi 4 cm, ale amplituda nadal 2 cm. To samo rozróżnienie dotyczy napięcia zmiennego i innych sygnałów: wartość od minimum do maksimum nie jest amplitudą.

Przykład: szybkość wzoru fali

Grzbiety profilu w 1 i 5 m dają λ=4 m. Maksima czujnika w 0 i 0,5 s dają T=0,5 s i f=2 Hz. W czasie jednego okresu powtarzalny kształt przesuwa się o jedną długość fali, dlatego v_f=λ/T=8 m/s. Jednostki m/s potwierdzają, że obie informacje były potrzebne: sam profil nie daje szybkości, sam okres nie daje długości.

Nie znamy z samych tych dwóch odstępów zwrotu propagacji. Fala może przesuwać się w lewo lub w prawo z tą samą szybkością i okresem. Dwa zgodnie opisane zdjęcia albo informacja o fazie w określonym miejscu pozwalają dopiero rozstrzygnąć kierunek. Rysowanie strzałki „w prawo” wyłącznie z nawyku dopisywałoby brakującą daną.

Przykład: punkt liny i faza drgania

Dla y=(3 cm)cos(πt) okres wynosi 2 s. Prędkość to −3π sin(πt) cm/s, przyspieszenie −3π²cos(πt) cm/s². Przy t=0 punkt jest najwyżej i chwilowo stoi; przyspieszenie już jest skierowane w dół. Przy 0,5 s przechodzi przez równowagę z prędkością −3π cm/s, a przyspieszenie wynosi zero. Zerowe wychylenie nie oznacza więc zerowego ruchu.

W kolejnych ćwiartkach okresu warto zaznaczyć punkty, a potem połączyć je gładką sinusoidą. Łamana byłaby innym modelem o skokowo zmienianej prędkości. Kontrola a=−ω²y od razu sprawdza przeciwny zwrot przyspieszenia i wychylenia; kontrola maksymalnej szybkości Aω sprawdza jednostkę oraz skalę wykresu prędkości.

Przykład: rozpoznany grzbiet w dwóch chwilach

Ten sam grzbiet przechodzi z 1,0 do 1,8 m w 0,10 s. Szybkość wynosi 0,8/0,10=8 m/s, zwrot ku rosnącemu x. Nie znaczy to, że każdy fragment poprzecznie drgającej liny przesunął się o 0,8 m w prawo. Przenosi się kształt zaburzenia, podczas gdy elementy ośrodka drgają głównie w kierunku poprzecznym.

Sprawdź się: dla amplitudy 2 cm i okresu 0,5 s największa szybkość drgań elementu wynosi Aω=0,02·4π≈0,251 m/s. Jest dużo mniejsza od szybkości propagacji 8 m/s i opisuje inny ruch. Pomylenie tych prędkości prowadziłoby do błędnego obrazu transportu całej liny wraz z grzbietem. Rozpoznanie tego samego grzbietu między zdjęciami jest warunkiem pomiaru, bo podobne okresowe maksima można pomylić.

Zadania do tego tematu

• Odczytaj długość i okres z dwóch różnych rysunków
• Ćwiartka okresu na trzech wykresach harmonicznych
• Zwrot rozchodzenia z dwóch zdjęć grzbietu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny