Ćwiartka okresu na trzech wykresach harmonicznych

Rozwiązanie

Wyznaczamy częstość i pochodne

Argument cos(πt) oznacza ω=π s⁻¹, więc T=2π/ω=2 s. Pochodna wychylenia daje v_y=−3π sin(πt) cm/s, druga a_y=−3π²cos(πt) cm/s². Amplitudę pozostawiamy w centymetrach konsekwentnie we wszystkich trzech wykresach.

Skąd biorą się trzy różne krzywe?

Wychylenie y mierzymy od położenia równowagi, a dodatni zwrot osi wybieramy w górę. W chwili początkowej punkt jest 3 cm powyżej równowagi i na moment się zatrzymuje. Zadaną funkcję zapisujemy jako y(t)=A\cos(\omega t), gdzie A=3\,\mathrm{cm} oraz \omega=\pi\,\mathrm{s^{-1}}. Argument funkcji trygonometrycznej jest bezwymiarowy: przy t w sekundach iloczyn ωt podajemy w radianach. Jeśli korzystamy z kalkulatora, wybieramy tryb RAD.

Jeden pełny cykl odpowiada przyrostowi argumentu o 2π, zatem:

T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi\,\mathrm{s^{-1}}}=2\,\mathrm{s}.

Prędkość to tempo zmiany wychylenia, czyli nachylenie stycznej do wykresu y(t). Różniczkując cos(ωt), otrzymujemy −sin(ωt) i dodatkowy czynnik ω pochodzący z argumentu:

v_y=\frac{dy}{dt}=-A\omega\sin(\omega t).

v_y(t)=-(3\pi\,\mathrm{cm/s})\sin[(\pi\,\mathrm{s^{-1}})t].

Przyspieszenie opisuje tempo zmiany prędkości. Drugie różniczkowanie wprowadza jeszcze jeden czynnik ω:

a_y=\frac{dv_y}{dt}=-A\omega^2\cos(\omega t).

a_y(t)=-(3\pi^2\,\mathrm{cm/s^2})\cos[(\pi\,\mathrm{s^{-1}})t].

Moduł współczynnika przy cosinusie wynosi więc 3π², a nie (3π)². Każde różniczkowanie względem czasu dodaje w jednostce dzielenie przez sekundę. Amplitudy wynoszą odpowiednio 3 cm, 3π cm/s i 3π² cm/s².

Ćwiartka okresu

Przy t=0,5 s argument wynosi π/2. Cosinus jest zerowy, sinus równy 1. Otrzymujemy y=0,v_y=−3π cm/s≈−9,42 cm/s,a_y=0. Punkt przechodzi przez równowagę w dół.

W tej chwili wykres y(t) przecina poziom zera i opada. Ujemny znak vᵧ oznacza ruch w ujemnym zwrocie osi, czyli w dół. Punkt ma maksymalną szybkość |vᵧ|, ale jego prędkość ze znakiem jest właśnie najmniejsza: −3π cm/s. Zerowe przyspieszenie w tej jednej chwili nie oznacza spoczynku ani stałej prędkości w całym ruchu.

Odczyty co ćwierć okresu

Co 0,5 s argument zwiększa się o π/2. Korzystamy kolejno z wartości sinusa i cosinusa dla 0, π/2, π, 3π/2 oraz 2π. W tabeli zachowujemy dokładne wielokrotności π; jednostki znajdują się pod symbolami w nagłówkach.

Wynik

Częstość kołowa to π s⁻¹, okres 2 s. W punktach ćwiartek okresu y ma wartości 3,0,−3,0,3 cm; v_y: 0,−3π,0,3π,0 cm/s; a_y: −3π²,0,3π²,0,−3π² cm/s². Łączymy je gładkimi sinusoidami, nie odcinkami. Dla t=0,5 s wychylenie i przyspieszenie są zerowe, a prędkość wynosi −3π cm/s, około −9,42 cm/s.

Jak narysować pozostałe punkty?

W skrajnych wychyleniach prędkość jest zerowa, a przyspieszenie przeciwne do y. Przy przejściu przez zero przyspieszenie znika, lecz moduł prędkości jest maksymalny. Punkty należy łączyć sinusoidami, nie prostymi odcinkami, aby zachować zadaną zależność.

Łączymy znaki z kierunkiem ruchu

Od 0 do 0,5 s punkt schodzi z górnego skrajnego położenia do równowagi. Wychylenie maleje, więc vᵧ jest ujemne; przyspieszenie również jest skierowane w dół i szybkość rośnie. Od 0,5 do 1 s punkt nadal porusza się w dół, ale aᵧ jest już dodatnie: ruch zwalnia aż do dolnego skrajnego położenia. Druga połowa okresu to powrót w górę — najpierw rozpędzanie, potem hamowanie.

W każdym skrajnym położeniu vᵧ = 0, lecz |aᵧ| jest największe i przyspieszenie wskazuje ku równowadze. Przy przejściu przez równowagę sytuacja jest odwrotna: aᵧ = 0, a |vᵧ| jest największe. Dodatnie przyspieszenie oznacza wzrost prędkości ze znakiem; nie musi oznaczać wzrostu szybkości.

Różnice faz można też zapisać bez zgadywania, którą krzywą przesuwać:

\frac{v_y}{A\omega}=\cos\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),\qquad \frac{a_y}{A\omega^2}=\cos(\omega t+\pi).

Po uwzględnieniu własnych amplitud prędkość ma względem wychylenia różnicę faz π/2, a przyspieszenie — π. Na rysunku najłatwiej sprawdzić to przez wspólne chwile ekstremów i przejść przez zero. Do narysowania pochodnych użyliśmy całej zadanej funkcji. Same te punkty, bez modelu harmonicznego, nie określałyby jednoznacznie krzywych między nimi.

Kontrola: a_y=−ω²y musi być spełnione w każdej chwili. Maksymalny moduł prędkości wynosi Aω=3π cm/s. Po przeliczeniu to 0,0942 m/s, a nie 9,42 m/s. To drganie konkretnego elementu, nie szybkość propagacji fali wzdłuż ośrodka.

Sprawdzamy jednostki i odpowiedź

Centymetry można pozostawić na osiach, jeśli używamy ich konsekwentnie. Przeliczenie największych wartości na jednostki SI daje:

|v_y|_{\max}=3\pi\,\mathrm{cm/s}\approx9{,}42\,\mathrm{cm/s}=0{,}0942\,\mathrm{m/s},

|a_y|_{\max}=3\pi^2\,\mathrm{cm/s^2}\approx29{,}61\,\mathrm{cm/s^2}=0{,}2961\,\mathrm{m/s^2}.

Odpowiedź dla t = 0,5 s: y = 0, vᵧ = −3π cm/s ≈ −9,42 cm/s, aᵧ = 0. Opisujemy drgania jednego punktu ośrodka. Jego prędkość vᵧ nie jest prędkością rozchodzenia się fali.

Wyprowadzenie zależności dla ruchu harmonicznego: OpenStax, Simple Harmonic Motion.

Powiązana teoria

Profil fali a przebieg drgań: metrów nie zamieniamy na sekundy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny