Doppler w echu: dwa przesunięcia i pomiar szybkości
Głośnik wysyła stały ton w stronę poruszającej się powierzchni, a mikrofon obok niego odbiera echo. Powierzchnia najpierw odbiera falę, a potem odsyła ją jako poruszające się źródło. Stąd biorą się dwa przesunięcia Dopplera.
W tym materiale
Głośnik wysyła stały ton w stronę poruszającej się powierzchni, a mikrofon obok niego odbiera echo. Powierzchnia najpierw odbiera falę, a potem odsyła ją jako poruszające się źródło. Stąd biorą się dwa przesunięcia Dopplera.
Potrzebne wiadomości: Efekt Dopplera dla ruchomego źródła i odbiornika, odbicie fali, ilorazy oraz różnica częstotliwości.
Co oznacza „dwa razy Doppler”?
Nadajnik i odbiornik spoczywają obok siebie w nieruchomym ośrodku. Płaska powierzchnia znajduje się przed nimi i porusza wzdłuż wspólnej osi. Fala pada prostopadle, a odbita wraca tą samą drogą. Częstotliwość nadaną oznaczamy f₀, odebraną fₑ, a prędkość dźwięku c. Symbol u oznacza tu składową prędkości powierzchni skierowaną ku nadajnikowi: u > 0 dla zbliżania, u < 0 dla oddalania. Zakładamy |u| < c.
Nie jest to ta sama konwencja co składowe osi x w poprzedniej lekcji. Tutaj dodatnie u świadomie wiążemy ze zbliżaniem. Przed podstawieniem zawsze czytamy definicję symbolu. Nadajnik nie porusza się, a f₀ nie zmienia podczas pomiaru.
Etap 1: fala dociera do ruchomej powierzchni
Długość fali padającej w ośrodku wynosi λ₀ = c/f₀. Powierzchnia zbliżająca się z szybkością u napotyka fronty z szybkością c + u. Częstotliwość drgań wymuszanych na tej powierzchni wynosi zatem:
f_1=\frac{c+u}{\lambda_0}=f_0\frac{c+u}{c}.
To rytm w miejscu odbicia. Jeszcze nie jest częstotliwością, którą zarejestruje nieruchomy mikrofon.
Etap 2: powrót od ruchomego miejsca odbicia
Zakładamy odbicie liniowe, bez wytwarzania dodatkowych harmonicznych: w układzie poruszającej się powierzchni fala odbita ma ten sam rytm f₁ co padająca. Miejsca odbicia przesuwają się ku mikrofonowi. Dla fali powrotnej są więc źródłem zbliżającym się z szybkością u:
f_e=f_1\frac{c}{c-u}=f_0\frac{c+u}{c-u}.
To wynik dokładny w przyjętym klasycznym modelu jednowymiarowym. Nie mnożymy jednego przesunięcia przez dwa: w pierwszym etapie porusza się odbiornik, w drugim źródło, więc czynniki są różne.
Dokładne przesunięcie i użyteczne przybliżenie
Odejmijmy częstotliwość nadaną:
\Delta f=f_e-f_0=f_0\left(\frac{c+u}{c-u}-1\right)=\frac{2f_0u}{c-u}.
Jeśli |u| jest dużo mniejsze od c, w mianowniku możemy przybliżyć c − u przez c. Dostajemy Δf ≈ 2f₀u/c. Warunek małych prędkości dotyczy ilorazu |u|/c, nie tego, czy u wydaje się małe w codziennym języku.
Na przykład dla f₀ = 40,0 kHz, c = 340 m/s i u = +17,0 m/s mamy u/c = 0,050. Dokładnie fₑ ≈ 44,211 kHz, czyli Δf ≈ 4,211 kHz. Przybliżenie daje Δf ≈ 4,000 kHz. Różnica to około 0,211 kHz, co stanowi 5% dokładnego przesunięcia. Nie jest to 5% całej częstotliwości echa: zawsze wskazujemy, względem której wielkości liczymy błąd.
Ruchoma powierzchnia może wymieniać energię z falą. Sama zmiana częstotliwości nie pozwala obliczyć mocy echa: potrzebne byłyby jeszcze amplituda, geometria i warunki odbicia. Nasz rachunek śledzi rytm, nie natężenie.
Od stosunku częstotliwości do szybkości
W pomiarze znamy f₀ i fₑ, a szukamy u. Wprowadzamy r = fₑ/f₀, mnożymy przez c − u i przestawiamy wyrazy:
r(c-u)=c+u,\qquad c(r-1)=u(r+1),\qquad u=c\frac{r-1}{r+1}=c\frac{f_e-f_0}{f_e+f_0}.
Dla fₑ > f₀ wynik jest dodatni — powierzchnia się zbliża. Dla fₑ < f₀ wynik jest ujemny — oddala się. Dla r = 1 dostajemy zero, zgodnie ze stacjonarną powierzchnią. Odległość od powierzchni wpływa na czas powrotu i osłabienie sygnału, ale w tym modelu stałego ruchu nie wchodzi do stosunku częstotliwości.
Czy dudnienia określają kierunek ruchu?
Przy nałożeniu bliskich tonów możemy zmierzyć częstość dudnień fd = |fₑ − f₀|. Wartość bezwzględna gubi znak. Dla nadajnika 40 kHz i dudnień 1 kHz możliwe jest zarówno echo 41 kHz, jak i 39 kHz. Do ustalenia kierunku potrzebujemy informacji, który ton jest wyższy, albo pomiaru zachowującego znak przesunięcia.
Gdzie kończy się ten opis?
Rozważamy prostopadłe odbicie od jednej powierzchni, jednorodny ośrodek i jednostajny ruch. Nie jest to gotowy model pomiaru pod dowolnym kątem. W przybliżeniu małych prędkości dla rozpraszania wstecznego występuje składowa prędkości wzdłuż wiązki, ale nie wolno bez uzasadnienia wstawiać cosinusa do każdego miejsca dokładnego wzoru wyprowadzonego dla jednego wymiaru. Różne prędkości w obszarze odbicia mogą dawać zakres częstotliwości, a nie jeden ton.
Przytoczone równania dotyczą dźwięku. Dla radarów i światła trzeba osobno ustalić relatywistyczny model; podobieństwo niektórych końcowych wzorów nie usuwa różnicy założeń.
Sprawdź: czy nieruchoma ściana podwaja częstotliwość, bo fala biegnie w obie strony?
Nie. Dla u = 0 oba czynniki Dopplera są równe 1. Droga powrotna wydłuża czas przelotu, a nie liczbę drgań na sekundę. Czynnik 2 w małym przesunięciu pojawia się dopiero jako skutek dwóch oddziaływań z ruchem powierzchni.
Kontrola granic i dokładność przybliżenia
Dla \beta=u/c stosunek częstotliwości echa wynosi (1+\beta)/(1-\beta). Gdy u→0, stosunek dąży do 1. Rozwinięcie dla małego |β| daje 1+2β+2β²+…, więc pierwszy pominięty wkład do całej częstotliwości jest drugiego rzędu. Dla samego przesunięcia względny błąd przybliżenia 2f₀u/c wynosi jednak dokładnie |u|/c dla u≠0. Dlatego mały błąd całej częstotliwości może być znaczną częścią niewielkiego przesunięcia. Granica u→c leży poza praktycznym użyciem prostego modelu powierzchni; algebraiczny wzrost częstotliwości nie jest obietnicą nieograniczonego działania rzeczywistego źródła.
Zadania do tego tematu
- Echo od zbliżającej się powierzchni — dwa etapy i błąd przybliżenia
- Niższa częstotliwość echa — kierunek i szybkość powierzchni
- Dudnienia echa — czego nie wiadomo z samego 1 kHz
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto