Wahadło fizyczne: dlaczego odległość do środka masy nie wystarcza?

Potrzebne wiadomości: Moment siły, moment bezwładności, przyspieszenie kątowe i model wahadła matematycznego.

Najpierw ustal oś i to, co porusza się razem

Wahadło fizyczne jest sztywnym ciałem wykonującym wahania wokół nieruchomej poziomej osi. W naszym modelu ruch odbywa się w jednej pionowej płaszczyźnie, pole grawitacyjne jest jednorodne, a tarcie w zawieszeniu i opór powietrza pomijamy. W położeniu równowagi środek masy C leży poniżej osi O. Jeśli do bryły dokręcono ciężarek, trzeba uwzględnić go zarówno w położeniu wspólnego środka masy, jak i w momencie bezwładności.

Oznaczmy całkowitą masę przez m, odległość osi od środka masy przez h, a moment bezwładności względem tej właśnie osi przez I_O. h jest długością odcinka OC w płaszczyźnie ruchu. Nie musi być połową długości przedmiotu. Kąt θ mierzymy od pionu skierowanego w dół, dodatnio w stronę wychylenia na rysunku. Znaki w równaniu mają odnosić się do tego samego wyboru.

Ciężar tworzy moment; reakcja osi go tutaj nie tworzy

W jednorodnym polu moment wszystkich sił ciężkości jest taki sam, jak moment ciężaru mg przyłożonego w C. Prostopadła odległość osi od linii działania ciężaru wynosi h sin θ. Dla dodatniego wychylenia ciężar próbuje zmniejszyć θ, dlatego jego moment ma znak ujemny:

M_O=-mgh\sin\theta,\qquad I_O\ddot\theta=-mgh\sin\theta.

Idealna reakcja nieruchomego zawieszenia przechodzi przez oś, więc jej moment względem O jest zerowy. Nie oznacza to zerowej siły reakcji. Wybraliśmy oś, dla której nie trzeba jej znać, aby opisać obrót. Gdy zawieszenie samo przyspiesza albo działa w nim istotny moment tarcia, powyższe równanie wymaga zmiany.

Okres małych drgań wynika z równania ruchu

Dla małego θ wyrażonego w radianach przybliżamy sin θ przez θ. Dostajemy równanie harmoniczne, w którym współczynnik przy wychyleniu jest kwadratem częstości kołowej drgań:

\ddot\theta+\frac{mgh}{I_O}\theta=0,\qquad \omega_0=\sqrt{\frac{mgh}{I_O}},\qquad T_0=2\pi\sqrt{\frac{I_O}{mgh}}.

Indeks 0 przypomina o granicy małej amplitudy. Częstość ω₀ opisuje tempo powtarzania całego ruchu; nie jest chwilową prędkością kątową θ̇, która na końcu każdego wychylenia spada do zera. Sprawdź jednostkę: Iₒ ma kg·m², a mgh ma kg·m²/s². Ich iloraz ma s², więc okres otrzymujemy w sekundach.

Przy ustalonych m i h większy Iₒ daje dłuższy okres: ten sam moment przywracający musi rozpędzać większą bezwładność obrotową. Samo zwiększenie masy nie wystarczy jednak do przewidywania zmiany T. Jeżeli całą gęstość bryły pomnożymy przez ten sam czynnik, Iₒ i m wzrosną jednakowo, h pozostanie stałe, a okres się nie zmieni. Doklejenie masy tylko w jednym miejscu zwykle zmienia wszystkie te proporcje.

Długość zastępcza nie jest automatycznie odcinkiem OC

Możemy dobrać wahadło matematyczne o takim samym okresie, definiując długość zastępczą ℓ. Korzystając z twierdzenia Steinera, dla równoległych osi przez O i C otrzymujemy:

I_O=I_C+mh^2,\qquad \ell=\frac{I_O}{mh}=h+\frac{I_C}{mh},\qquad T_0=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}.

Rozciągła bryła ma I_C > 0, więc ℓ jest większe niż h. Zastąpienie całej masy punktem w C zachowuje moment siły ciężkości, ale usuwa część bezwładności. Dlatego taki skrót daje zbyt krótki okres. Granica punktowej masy jest poprawna wtedy, gdy I_C jest pomijalne wobec mh², a nie tylko dlatego, że potrafimy narysować środek masy.

Przykład: jednorodny pręt zawieszony na końcu

Pręt ma długość L = 0,90 m i masę m = 0,60 kg. Oś jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jego koniec. Środek masy leży w połowie długości: h = 0,45 m. Dla cienkiego jednorodnego pręta I_C = mL²/12. Przesunięcie osi daje:

I_O=\frac{mL^2}{12}+m\left(\frac L2\right)^2=\frac{mL^2}{3}=0{,}162\ \mathrm{kg\,m^2}.

Przy g = 9,81 m/s² długość zastępcza wynosi ℓ = Iₒ/(mh) = 0,60 m = 2L/3. Stąd T₀ ≈ 1,554 s. Nie wstawiamy do wzoru ani całej długości pręta 0,90 m, ani samego h = 0,45 m. Każda z tych zamian odpowiadałaby innemu rozmieszczeniu masy. Podwojenie długości podobnego pręta wydłuży okres o √2, ponieważ ℓ rośnie proporcjonalnie do L.

Energia pozwala sprawdzić ruch między skrajnym wychyleniem a dołem

Gdy bryłę puszczamy bez nadawania prędkości z kąta θ₀, jej środek masy znajduje się o h(1 − cos θ₀) wyżej niż w równowadze. Przy zachowaniu energii:

\frac12 I_O\dot\theta^2+mgh(1-\cos\theta)=mgh(1-\cos\theta_0).

W najniższym punkcie θ = 0, więc |\dot\theta|_{\max}=\sqrt{2mgh(1-\cos\theta_0)/I_O}. Ten bilans nie wymaga zastąpienia sin θ przez θ. Natomiast prosty wzór na T₀ nadal wymaga małej amplitudy. Dokładne obliczenie prędkości nie sprawia, że przybliżony okres staje się dokładny dla dużych kątów.

Energię kinetyczną zapisaliśmy względem nieruchomej osi jako Iₒθ̇²/2. Można równoważnie użyć m(hθ̇)²/2 + I_Cθ̇²/2. Nie wolno dodać energii przesuwania środka masy do pierwszego zapisu: byłoby to policzenie tej samej części energii drugi raz.

Przejdź od modelu punktowego w lekcji o wahadle matematycznym do wyboru osi dającej najkrótszy okres.

Zadania do tego tematu

• Linijka na końcu: który odcinek jest długością zastępczą?
• Dysk i obręcz na brzegu: ten sam środek masy, dwa okresy
• Pręt z ciężarkiem: wspólny środek masy i prędkość w dole

Dalsza lektura

Materiał referencyjny