Dysk i obręcz na brzegu: ten sam środek masy, dwa okresy
Pełny jednorodny cienki dysk i cienka obręcz mają tę samą masę 0,50 kg oraz promień 0,20 m. Każdy obiekt zawieszono na brzegu; pozioma oś jest prostopadła do jego płaszczyzny. Oblicz okresy małych drgań oraz ich iloraz. Wyjaśnij, dlaczego jednakowa odległość środka masy od osi nie zapewnia jednakowego okresu. Przyjmij g = 9,81 m/s², IC,d = mR²/2 i IC,o = mR².
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
W obu przypadkach h = R, ale centralne momenty bezwładności są różne. Do każdego dodaj mR², ponieważ rzeczywista oś znajduje się na brzegu.
Rozwiązanie
1. Wspólne ramię, różne bezwładności
Ciężar działa w środku koła, więc h = R = 0,20 m dla obu obiektów. Moment przywracający przy tym samym kącie jest jednakowy. Ich momenty względem osi zawieszenia wynoszą:
I_{O,d}=\frac12mR^2+mR^2=\frac32mR^2=0{,}0300\ \mathrm{kg\,m^2},\qquad I_{O,o}=mR^2+mR^2=2mR^2=0{,}0400\ \mathrm{kg\,m^2}.
2. Okresy
Po wstawieniu h = R masa skraca się w obu rachunkach:
T_d=2\pi\sqrt{\frac{3R}{2g}}\approx1{,}099\ \mathrm s,\qquad T_o=2\pi\sqrt{\frac{2R}{g}}\approx1{,}269\ \mathrm s.
Obręcz waha się wolniej. Jej długość zastępcza wynosi 0,40 m, a dysku 0,30 m; żadna nie jest równa samemu h = 0,20 m.
3. Porównanie bez ponownego liczenia stałych
\frac{T_o}{T_d}=\sqrt{\frac{I_{O,o}}{I_{O,d}}}=\sqrt{\frac43}\approx1{,}155.
Okres obręczy jest o około 15,5% większy od okresu dysku. Większa część jej masy leży daleko od osi centralnej, co zwiększa także moment względem osi na brzegu. Ten sam ciężar i to samo ramię nie wywołują więc tego samego przyspieszenia kątowego.
Przy porównaniu muszą pozostać takie same orientacje osi: moment cienkiego dysku względem średnicy leżącej w jego płaszczyźnie jest inny. Przyjęliśmy małe amplitudy oraz pomijalną masę i opór zawieszeń. Gdy zaczep znajduje się poza brzegiem, zmieni się h i składnik dodawany w twierdzeniu Steinera.
Przy takim samym dodatnim kącie wartość przyspieszenia kątowego obręczy stanowi 3/4 wartości dla dysku, bo moment przywracający jest wspólny, a Iₒ obręczy większe o czynnik 4/3. To bezpośrednio potwierdza kierunek różnicy okresów jeszcze przed użyciem pierwiastka.
Powiązana teoria
Wahadło fizyczne: dlaczego odległość do środka masy nie wystarcza?
Dalsza lektura
Sprawdź, co naprawdę ustala okres
Najpierw przewiduj: Porównaj pręt, dysk i obręcz. Czy ta sama odległość osi od środka masy wystarczy, aby okresy były równe?
Pręt o długości 1 m, zawieszony na końcu: h = 0,5 m, I/m = 1/3 m². Przy g = 9,81 m/s² okres wynosi około 1,638 s.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Przy małych wychyleniach T=2\pi\sqrt{\frac{I_{\rm cm}/m+h^2}{gh}}. Dla pręta Icm/m = L²/12, dysku R²/2, a cienkiej obręczy R². Oś pozostaje w obrębie bryły. Suwak położenia osi podaje ułamek maksymalnego h: L/2 dla pręta oraz R dla koła. Nie jest bezpośrednio odległością w metrach.
Wykres pokazuje T(h). Minimum wypada przy h = √(Icm/m). Zbliżanie osi do środka masy osłabia moment siły przywracającej; dla h → 0 okres rośnie bez ograniczenia. Sam punkt h = 0 nie opisuje takiego wahadła i nie jest dostępny. Animacja używa amplitudy 10°, przybliżenia małych kątów i stałego g = 9,81 m/s². Pomija tarcie, podatność zawieszenia oraz opory powietrza.
Dodatkowo T²h = (4π²/g)h² + (4π²/g)(Icm/m). Podane pod wykresem wartości pozwalają zbudować prostą na papierze. Masa skraca się tylko wtedy, gdy porównujesz tę samą geometrię rozkładu masy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto