Linijka na końcu: który odcinek jest długością zastępczą?
Cienki jednorodny pręt o długości 1,20 m i masie 0,80 kg waha się wokół nieruchomej poziomej osi przechodzącej przez jego koniec. Oś jest prostopadła do pręta. Oblicz okres małych drgań i długość zastępczą. Porównaj wynik z błędnym modelem, który skupia całą masę w środku pręta. O ile procent taki model zaniża okres względem poprawnego wyniku? Przyjmij g = 9,81 m/s² i IC = mL²/12.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Oddziel odległość h = L/2 od momentu Iₒ. Najpierw przenieś oś momentu bezwładności z C do końca pręta. Procentowe zaniżenie licz względem okresu prawdziwego modelu bryły.
Rozwiązanie
1. Dwa parametry geometryczne
Środek masy jednorodnego pręta leży w połowie długości, więc h = 0,60 m. Moment z treści dotyczy jednak osi centralnej. Dla osi na końcu stosujemy Steinera:
I_O=\frac{mL^2}{12}+m\left(\frac L2\right)^2=\frac{mL^2}{3}=\frac{0{,}80\cdot1{,}20^2}{3}=0{,}384\ \mathrm{kg\,m^2}.
2. Długość i okres zastępczego wahadła
\ell=\frac{I_O}{mh}=\frac{0{,}384}{0{,}80\cdot0{,}60}=0{,}80\ \mathrm m,\qquad T_0=2\pi\sqrt{\frac{0{,}80}{9{,}81}}\approx1{,}794\ \mathrm s.
ℓ jest większe od odległości do środka masy, ale mniejsze od długości pręta. Nie wyznaczaliśmy nowego punktu zawieszenia; ℓ opisuje równoważny okres innego modelu.
3. Co usunął model punktowy?
Skupienie masy w C daje I = mh² i okres T_{\mathrm{pkt}}=2\pi\sqrt{h/g}\approx1{,}554\ \mathrm s. Iloraz Tpkt/T₀ = √(0,60/0,80) = √3/2 ≈ 0,8660. Zaniżenie względem poprawnego okresu wynosi:
\frac{T_0-T_{\mathrm{pkt}}}{T_0}\cdot100\%\approx13{,}4\%.
Nie jest to 15,5%: tę inną liczbę otrzymalibyśmy, odnosząc różnicę do krótszego, błędnego okresu. Model punktowy zachował ramię ciężaru, ale pominął IC. Wynik 1,794 s dotyczy małych wychyleń, sztywnego pręta i pomijalnego tarcia; dokładne podstawienie g nie usuwa tych ograniczeń.
Można też skontrolować moment przez rozdzielenie energii: IC = 0,096 kg·m² i mh² = 0,288 kg·m² sumują się do 0,384 kg·m². Drugi składnik opisuje ruch środka masy, a pierwszy obrót względem niego. Model punktowy usuwa dokładnie pierwszą część.
Powiązana teoria
Wahadło fizyczne: dlaczego odległość do środka masy nie wystarcza?
Dalsza lektura
Sprawdź, co naprawdę ustala okres
Najpierw przewiduj: Porównaj pręt, dysk i obręcz. Czy ta sama odległość osi od środka masy wystarczy, aby okresy były równe?
Pręt o długości 1 m, zawieszony na końcu: h = 0,5 m, I/m = 1/3 m². Przy g = 9,81 m/s² okres wynosi około 1,638 s.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Przy małych wychyleniach T=2\pi\sqrt{\frac{I_{\rm cm}/m+h^2}{gh}}. Dla pręta Icm/m = L²/12, dysku R²/2, a cienkiej obręczy R². Oś pozostaje w obrębie bryły. Suwak położenia osi podaje ułamek maksymalnego h: L/2 dla pręta oraz R dla koła. Nie jest bezpośrednio odległością w metrach.
Wykres pokazuje T(h). Minimum wypada przy h = √(Icm/m). Zbliżanie osi do środka masy osłabia moment siły przywracającej; dla h → 0 okres rośnie bez ograniczenia. Sam punkt h = 0 nie opisuje takiego wahadła i nie jest dostępny. Animacja używa amplitudy 10°, przybliżenia małych kątów i stałego g = 9,81 m/s². Pomija tarcie, podatność zawieszenia oraz opory powietrza.
Dodatkowo T²h = (4π²/g)h² + (4π²/g)(Icm/m). Podane pod wykresem wartości pozwalają zbudować prostą na papierze. Masa skraca się tylko wtedy, gdy porównujesz tę samą geometrię rozkładu masy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto